摘要随着科技的进步,时代的发展,人们逐渐认识到现实生活中的许多问题都与数学有着千丝万缕的联系,都需要用数学思想来解决,而数学建模就是人们利用数学思想解决实际生活中诸多问题的桥梁和纽带。简要的阐述数学模型及数学建模思想的定义;分别从四个方面详细介绍数学建模思想的内涵,使人们对数学模型有个初步的了解,对数学建模思想有个整体的把握。
关键词数学模型;数学建模思想;数学抽象;化归
中图分类号G64文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)081-0171-01
“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具”,“对数学的认识不仅要从数学本质的观点去领悟,更要从数学活动的亲身实践中去体验”。这充分说明了数学来源于生活,又运用于生活。从生活中可以提炼出数学关系,从数学关系中又可以回到新的生活去。生活离不开数学,数学也离不开生活,生活与数学是息息相关的。而解决数学现实问题的钥匙就是数学建模。
所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定对象,为了某个特定目的,作出必要的简化和假设,运用数学工具得到的一个数学结构。数学建模是利用数学工具解决实际问题的主要手段,是联系数学与实际问题的桥梁。它或者能解释特定现象的现实状态,或者能预测对象的未来状况,或者提供处理对象的最优决策或控制。通过对数学模型的求解可以获得相应实际问题的解决方案或对相应实际问题有更深入的了解。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到社会的普遍重视,并已经成为现代科学技术工作者必备的重要能力之一。
善于将某类实际问题经过适当的数学抽象,使之转化成一个纯粹的用数学语言表述的数学问题(即数学模型),然后,通过纯粹的数学研究(演算、证明、推理等)去解决相应的数学问题,并最终获得原有的实际问题的解答,这种处理问题的数学思想称之为数学建模思想。
1数学建模思想的核心是数学抽象
为了能够对数学建模思想的抽象性特征作些初步的哲学分析,以众所周知的七桥问题为例。欧拉成功的解决了七桥问题的关键在于进行了适当的数学抽象。事实上,欧拉准确的认识到了整个问题与所走路程的长度无关,岛(半岛)与河岸无非是桥梁的连接地点。因此,他把岛和陆地抽象为“点”,把桥抽象为“线”,把整个问题简化成一个“一笔画”问题:能否一笔且无重复地画出如图所示的图形?
接着,欧拉又对“一笔画”的数学思想进行抽象分析,分析其数学
模型的结构特征:一笔画有个起点和终点,除起点和终点外,一笔画中出现的交点处曲线总是一进一出。因此,通过这些交点的曲线必是偶数条,这些交点就称为“偶点”。另一方面,只有起点和终点处通过的曲线可能是奇数条,此时起点或终点可称为“奇点”。因此,这一图形就不能一笔且无重复的画成。
容易看出,数学抽象是数学建模思想的核心和精华。其抽象过程分为两个层次:第一,将实际问题抽象为数学模型,即运用纯粹的数学符号语言来对客观事物的量性特征进行描述(如欧拉抽象出来的数学图形和数学命题),获得的数学模型既能反映原实际问题的本质属性,又能舍弃原实际问题的非本质属性,具有化繁为简、化难为易的作用;第二,对获得的数学模型进行抽象思维,即脱离原有的现实原型,对抽象出来的数学模型进行数学的思考和分析、研究(如欧拉对“奇点”、“偶点”的推理、证明等)。数学家抽象思维的结果往往不仅仅能对现实原型作出实际解释,更重要的是能够解决一类问题,甚至发现新的数学定理,产生新的数学分支。从认识论角度看,数学模型的层次性和数学家的抽象思维能力是一致的。这种层次性从一个侧面反映了作为人类文化的数学发展的阶段性。
数学建模思想更强调整体性、数量性和精确性,因而与理想化抽象有所区别,建立数学模型是理想化抽象的一种方法,但并非所有理想化抽象均必须建立一个数学模型。
2数学建模思想反映了一种广义的化归
事实上,建立数学模型解决实际问题的过程可以看成一种广义的化归。这种化归和数学家们通常所指的化归既有联系又有区别。
从认识论的角度来看,这两种化归都是用联系、运动、变换的观点来看待问题、解决问题的。所不同的是,通常所说的化归通过具体的数学手段和方法来促使矛盾的转化。而建立数学模型解决实际问题则是通过数学抽象来促进矛盾的转化,实现其目标。
从思维结果的方法论价值来看,这两种化归的方向是一致的,都要求实现“化未知为已知,化难为易,化繁为简”的目标。通常所说的化归主要用来解决已经提出的现成的纯数学问题,主要指由未知的、较难的数学问题向已知的、较容易的数学问题的转化;而数学建模思想中所蕴含的化归,是指由实际问题到数学模型的转化,其方法论价值不仅仅在于可以解决原有的实际问题,更重要的还在于它能够发现新的数学命题和定理,解决范围更广的一类实际问题。可见,这种广义的化归是一种发现的方法,具有创造性。
相对于较复杂的现实原型而言,数学模型应当具有化繁为简、化难为易的特点。在抓住现实原型的本质属性的前提下,应使建立的数学模型尽可能地简单。当然,这种简单化并不是无条件的,而应充分考虑到实际问题所能允许的误差范围以及所使用的数学方法要求的前提条件。
由于数学抽象的方法不同,对于同一实际问题有可能建立起不同的数学模型。数学建模思想的方法论原则主要指:对同一问题的不同数学模型进行检验,把由数学模型经过纯数学研究得到的解答返回到现实原型中,看看能否真正解决实际问题;通过比较,尽可能选择简单的数学模型。
3数学建模思想体现了认识的超前性
数学模型的意义不仅仅在于描述事物过去的或现在的状态,更重要的是它能够对事物未来的状态和变化作出科学的预测,因而具有认识上的超前性。从思维的角度分析,建模及其求解数学模型的过程,实质上是一种符号思维的过程。这种符号思维按照逻辑规则,常常可以直接推演出新命题,为人们提供发现、研究新事物的目标,因而常常表现为对科学的预见和创新。科学史上先通过研究数学模型在认识上超前一步,然后再通过观察、实验去验证理论,这已成为一种重要的科学研究的思想方法。例如,高斯通过数学计算预言行星的轨道位置;麦克斯韦借助微分方程预言电磁波的存在;爱因斯坦用数学公式预言原子能的巨大威力等等。
4数学建模思想追求结果的精确性
事实上,对数学模型的求解不同于对其它模型的求解,它不是直观的实验,而是一种思维的实验。这种思维的实验是按照严格的逻辑程序和规则,通过步步为营的数学推理和运算进行的。另一方面,数学建模思想侧重于揭示事物之间量的关系,而事物的量及其关系尽管常常以变化的形式出现,但它们在每个确定的条件下总是确定的。这种逻辑推理的严谨性、数学运算的准确性和数量关系的确定性,决定了通过求解数学模型所得到的结论是精确的。
本论文来源于:黑龙江省新世纪高等教育教学改革工程项目《在民办高校深入开展数学建模教育的研究》。
参考文献
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[2]朱建青,张国梁.数学建模方法.郑州:郑州大学出版社,2003.
[3]熊启才.数学模型方法与应用.重庆:重庆大学出版社,2005.
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