【摘 要】金融投资是一个商品经济的概念，它是随着投资概念的不断发展，在实物投资的基础上形成的，并逐步成为比实物投资更受人们关注的投资行为。我们建立了两种模型来求解金融投资问题，模型一是正态分布模型，我们通过非参数检验证明了该模型的合理性和正确性，并通过参数估计求出了符合该问题的正态分布参数：均值为7.4863，方差为97.0618。在该模型下，我们估计出在下一个周期 （如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性为0.0380；95%的置信度保证损失的数额不会超过8.72万元；一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于 5%的情况下初始投资额最多为1146.9万元。模型二为概率函数拟合模型， 该模型是基于频率直方图的，对频率直方图中每个频率长方形上部中点数据进行拟合，得到总体的近似概率分布图和拟合函数，然后利用该 拟合函数求解问题在该模型下，我们求出下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性为0.03888；95%的置信度保证损失的数额为8万元； 在一个周期内的 损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多为1250万元。
【关键词】正态分布；概率函数拟合；MATLAB
1.问题重述
（1）某公司在金融投资中，需要考虑如下两个问题：问题一：准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。它必须根据 历史数据估计在下一个周期（如1天）内的损失的数额超过 10万元的可能性有多大， 以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。问题二：如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为多少。
（2）解决该问题时，须考虑以下3点要求1）参考数据，建立两种模型来解决前述的两个问题，并对这两个模型加以比较；2）讨论二周期情形（如今后两天内）上述两个问题的答案；3）陈述上述两个问题的一般形式。
2.问题分析
2.1对收益额的理解
由于每天在市场上的投资额保持为1000万元，所以每一交易周期的收益额之间没有必然联系，即每个周期收益额X是相互独立的， 在后续计算中这一点也成立。
2.2对金融投资的理解
本题讨论的是一种理想情况，预计投资的收益额仅是由历史数据估计而得来的，不受其他因素的影响。又由于所获得的统计数据仅为总体的一部分样本，且单个数据可能出现偏离总体分布的情况。所以预计的收益额仅为理论的可能性，与实际情况相比有一定的误差。对于后者，考虑先对数据进行预处理，并注意控制统计的数据与估计的总体分布之间的误差。
2.3对要求一的理解
对于本题中所给的统计数据，考虑两种模型。模型一是根据所给的数据，推测总体分布为正态分布；再根据样本观察，证明假设；最后根据样本的均值和方差，对总体的均值、方差进行参数检验，进而求得问题的解。模型二是基于频率直方图，对频率长方 形上部顶点进行三次样条插值，得到总体的概率分布图；然后利用三次样条插值函数求解问题。
3.模型建立
3.1非参数检验
接着我们利用MATLAB对总体分布进行非参数分析， 即使命令显示数 据矩阵x的正态概率图。如果数据来自正态分布，则图形显示出直线形态，而其他概率分布函数显示出曲线形态。图形为直线形态，可以证明总体服从正态分布。
3.1.1参数估计
证明总体服从正态分布后，可以使用MATLAB对正态分布的参数进行估计，即调用MATLAB中的命令。得到结果即该数据均值为7.4863，方差为97.0618，0.95 的置信区间为[6.2713，8.7013]，所以综上所述 X～N（7.4863，97.0618）。
3.1.2问题解决
基于前面三小问，可以得到总体服从参数已知的正态分布，所以后续的问题可以用概率论和数理统计的相关知识解决。
3.1.3问题解决
基于前面三小问，可以得到总体服从参数已知的正态分布，所以后续的问题可以用概率论和数理统计的相关知识解同上，95%的置信度保证损失的数额。此时是0.95，又因为可调用MATLAB统计箱中的数据，所以95%的置信度保证损失的数额不会超过8.72万元。
问题二：令初始投资额为M，收益率为v，收益额为y，则 y=M×v，由上知，X服从正态分布，故其收益率ν也服从正态分布，则对于初始投资额为M的情况，其收益额y也服从正态分布，由概率论知识可知。可解得1146.9万元。即一个周期内初始投资额最多为1146.9万元。
3.2概率函数拟合模型
该模型是基于频率直方图的， 对频率直方图中每个频率长方形上部中点数据进行拟合，得到总体的近似概率分布图和拟合函数，然后利用该拟合函数求解问题。
3.3两周期情形
（以正态分布模型为例）由正态分布模型可知，所统计的255个交易额数据近似正态分布。又由2.1可知：每个周期收益额X是相互独立的。
3.3.1两周期情形下的问题一求解
调用相关程序，用 MATLAB 统计箱中的命令得到z=-7.9090万元。即两个周期内能以95%的置信度保证损失的数额不会超过 7.9090万元。
3.3.2两周期情形下的问题二求解
仍令初始投资额为M，收益率为V，收益额为y，则 y=M×V，由上知，X服从正态分布，故其收益率ν也服从正态分布，则对于初始投资额为M的情况，其收益额y也服从正态分布，均值为两周期内损失超过10万元的可能性不大于5%可以表示为如下。使用MATLAB实现 M=1264.4万元 即初始投资额最多为1264.4 万元。综上，两个周期内损失超过10万元的概率为3.63%，以95%的置信度保证损失的 数额不会超过7.90万元；两个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额1264.4万元。
4.模型分析
第一种正态分布模型通过为历史数据的正态分布验证，再用 MALTLAB 工具箱得到正态分布函数及相关参数，方法较为通用。且该模型结合数理统计与概率论的知识，能很好的求解风险投资问题，并容易推广到两个周期甚至T个周期。第二种概率函数拟合模型，通过拟合分别建立了概率密度函数和分布函数，由 Matlab 拟合图像可知，概率密度函数由于散点乱，拟合效果差，对问题的求解与实际预期的效果不太相符。概率分布函数除个别点外，拟合效果还是非常好的，一个周期的问题能得到较好的解决，但将其推广到两个周期以及一般形式还是有一定困难的。
5.模型推广
第一种正态分布模型、 第二种概率函数拟合模型均可以应用到风险投资和决策问题中， 运用数理统计的方法对历史交易日收益额数据的处理，得出极限风险损失值及风险概率。 其中概率函数拟合模型对于非正态分布模型也可以预测出最大的损失。正态分布模型通过检验证实属于正态分布，但是实际投资中很多学者考虑各种资产的关联以及大量数据的研究表示，收益额并不属于正态分布，这样就降低了模型的实用性。尽管如此，上述模型对于投资者的投资行为起到参考和指导作用。 [科]
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