博弈论中的数学思想与应用

1 应用数学的概念及分类

应用数学包含两个词:“应用”和“数学”。大体而言也就包括两个部分,一部分就是与应用有关的数学,这是传统数学的一支,我们可称之为“可应用的数学”。另外一部分是数学的应用,即以数学为工具,探讨解决科学、工程学和社会学方面的问题,这是超越传统数学的范围。正是因为这两部分的完美结合,才使得应用数学在学习领域有着很高的地位与价值。应用数学包括运筹学、向量分析、矩阵、傅里叶变换、控制理论、数值方法、微分方程、概率与数理统计、组合数学、信息论等许多数学分支,也包括从各种应用领域中提出的数学问题。正是因为应用数学在诸多领域的应用,才使得众多学者通过数学推演得到了一套完美的博弈论,在当今社会,博弈已成为数学的一大应用方向,也为数学的发展做出了巨大的贡献。

2 博弈论的基本数学思想

数学思想是现实世界的空间形式和数量关系在人们意识之中的反映和经过思维活动产生的结果。而博弈是数学领域与经济领域的完美结合,它既含有传统数学思想的精华也含有现代数学思想的基本特征,是一门思维严谨的学科。博弈论中所用的数学工具主要是线性代数、概率论、实分析、微积分、微分方程、拓扑学、测度论、统计学和公理集合论等,而无论是微积分,还是拓扑学抑或集合论,在实际研究中都存在着一个共同的局限,即它们只在均衡分析中充分的发挥作用。博弈论学者就是通过进行高度规模化的推算,来处理一个数据模型,从而得到数学上的均衡分析,进而使经济学得以超越均衡与竞争,可以对更为现实的非均衡过程和独据一隅的经济现象进行描述。博弈论自创立之日便与经济领域密不可分,这是它区别于其他数学工具的一大特色。数学可以说是一种经济分析的语言。可以通过其神奇的变换指导经济领域的发展,一些经济理论,如内生增长论和最优增长论等,不用数学语言,就无法加以详细的表述,更谈不上研究了。因此可以说,博弈与数学密不可分。

3 博弈基本原则的数学思想体现

3.1 孔多赛原则的数学基础

博弈论中有很多经典案例,如囚徒困境、零和博弈、最大最小解、性别大战、胆小鬼博弈、鹰鸽博弈、国际联盟、政治博弈中的“拆台者”、股票投资建议等。这些经典案例中无一不应用了数学之中严谨的推论。下面以孔多赛原则和博尔达原则为例简单探讨一下博弈论中数学思想的应用。

孔多赛原则是指对备选方案进行成对的比较,先两个方案的表决,获得参与者过半数赞成票的方案再同余下的方案进行成对比较,依次表决直至得出最终的结果。是一种由大多数决定的方法。而博尔达计数是按投票者的偏好顺序,数个方案中的每一个逐一打分,分值从1～N,分数最高为N,最少为1,然后把每一个方案的所有得分求和,得分最高的方案通过。这种方法也被称之为“偏好次序表决法”,以上两者都是博弈论中的基本原则,都是一种多数规则变异形式,这种变异形式还包括:赞成投票制、淘汰投票制、正负表决法。孔多赛还帮助证明了大多数人永远是正确的,且它的证明是通过数学理论推演出来严谨的结论,更能令人信服[1]。

3.2 统计论在博弈中的简单应用

博弈论是涉及“变量相互关系”这样一个可归结为数学范畴的问题。例如数学分析中的极值问题,经济规划中一定约束条件下的目标函数的极值问题,以及如何用最低成本获得最大地满足问题均是由数学理论支撑起的博弈综合。其中数理统计在博弈论中的应用较为广泛,包括假设检验、抽样计数、方差分析、相关性或非线性分析等内容。抽样检验主要是通过对部分样品的调查来推断样品总体的情况,应该抽样多少,是至关重要的问题,因此产生了“小样理论”,这是在抽取很少的样品的情况下,进行分析判断的理论,有助于在实际生活中节约投入的成本和人力[2]。还有些问题需要根据积累的经验数据来做出理论分布曲线,从而使整个问题得到解决,这些理论都是博弈论中纳什均衡解的一种数学基础。

3.3 积分学和拓扑学在博弈中的应用

同统计一样重要的理论还有微积分,其基本理论表明了微分和积分的可逆性。这也就为博弈论中的最优战略的求解提供了参考依据,使得博弈的结果被公认为是理论上的胜利。原则上,博弈论以及与其相关的微观经济学,在观念上是以博弈者的理性行为为假设的[3]。如果理性观念下得到的博弈解是合理的,那么它应该在某些特定的环境里以某种形式成立,即能够通过一定的稳健性检验。稳健性检验实际上是一种元理论考察,是导致较低层次理论上的复杂事物可以由更高层次的简单规则所描述,用数学中的拓扑论来解释就是:一个理论(如解概念),在两组事物间建立起的一个映射(或对应)关系。我们所使用的作为这两组事物的构件的开集程度反映了我们自身的局限性,在同一开集内的事物如果超出了我们对细节的把握能力,那我们往往希望这个关系能够连续,而不是只因为很细微的失误导致不可挽回的损失。显而易见的是,足够粗糙的拓扑可以用来很好的刻画值域,几乎总能使非连续的函数通过某种方式转变为连续的。所以,不同的拓扑反映了不同的稳健性检验结果,使得看上去几乎有无限多种可能的数学模式,在对于意义不同的每一方面都有其特定的涵义,有时甚至是相似的,即什么样的两个博弈局势可以看作是近似的,也就给人一个相对确定的博弈结局。拓扑论的这一应用极大的丰富了博弈论在现实生活中所发挥的作用,是数学在人类进步史上的一次重大飞跃。

4 结语

数学之所以备受世人关注,不仅是因为它的很多理论有助于解决运算问题或是研究一个图形或者一个多面体,而是在于它严谨的科学态度,以及其在生活中的广泛应用。就像博弈并不是生活中的目的,而人们真正需要的是用博弈的结果来指导实践一样。数学是我们通过不断的应用与总结得到的最佳的思维方式,博弈只是众多方式中的一种,我们所需要做的是多多总结经验,发现更多的规律,以提升数学的实用价值。让数学在未来人们生产生活实践中发挥更强有力的作用。

参考文献

[1] 宿春君.博弈论的诡计[M].华夏出版社出版,2011,10:65～69.

[2] (英)约翰·梅纳德·史密斯[著],潘香阳[译].演化与博弈论—— 西方经济社会名著译丛[M].复旦大学出版社,2008,10:87.

[3] 张从军.经济应用模型(高等学校经济数学应用教程)—— 博学·经济数学系列[M].复旦大学出版,2008,10:120.