计划或规划，如在生产条件不变的情况下，如何经过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力、资金等资源，组织生产过程，使总的经济效益最大化。通过学习人教B版普通高中课程标准实验教科书数学必修5的第三章“不等式”，笔者发现线性规划问题在数学领域和实际生活中的应用相当广泛。虽然各类经济活动计划和规划的内容千差万别，但其共同特点均可归结为：在现有各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期目标达到最优化；或为了达到预期目标，使资源消耗最少。
然而，教材只介绍了简单的数学规划问题。首先，以生产安排的实例作为问题引入新课，借助不等式建立线性规划模型，通过将不等式组表示成平面上的区域，确定可行域，利用图解法求得使利润达到最大的最优解，即最佳生产安排方案。由于该问题要确定的是产品的生产工时，得到的是整数解，并且由图易知最优解是唯一的。接着，举了一个营养调配的例子，采取与引例相同的求解方法，得到了满足消费金额最低的食物购买方案。此问题的目的是给出食物的购买量，其结果是整数解，从求解过程可以看出，该问题的最优解也是唯一解。然后，例2提出的运输安排问题，以装运货物的多少（不一定都是整袋）为目标函数，对所得到的不等式组进行求解，所以其结果可以是整数解，也可以是分数解，这也是线性规划问题。我们发现，通过图解法得到的最优解为整数解。最后，教材上的例3是人员安排问题，与上面的几个例题基本类似，如何进行合理的人员安排，使受服务的老人最多，显然，得到的最优解为唯一的整数解。
一方面，通过对教材所应用的图解法思路的解读，笔者发现，书中的线性规划问题所存在的最优解具有唯一性和多样性，但是会不会出现最优解不存在的情况呢？另一方面，通过对不等式组所表示的平面阴影区域（即可行域）进行观察，笔者结合几何直观得到一些概念性的判断，发现教材中的4个例题均存在可行域，那么是否存在无可行解或者有无界解（有可行解但无最优解）的情况呢？此外，教材中所提出的线性规划问题，均是通过建立平面直角坐标系，用图解法作出可行域，然后平移目标函数寻求最优解。然而，在工程实际中，若用图解法来处理，则费时费力。因此，我们需要探寻更加方便、有效的线性规划问题的求解方法。随着计算机技术的发展，办公软件中的WPS表格可以快速地对线性规划问题进行求解和分析，利用WPS表格求解线性规划问题不仅可以提高求解的速度，还能有效简化计算过程。
二、基本概念
1.线性规划问题的定义
在一组线性等式或不等式的约束之下，求一个线性函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题。
2.线性规划的数学模型三要素
一是变量，或称决策变量。它是问题中要确定的未知量，用以表明规划中的用数量表示的方案、措施，可由决策者决定和控制。
二是目标函数。它是决策变量的函数，按优化目标分别在这个函数前加上max或min。
三是约束条件。指决策变量取值时受到各种资源条件的限制，通常表达为变量的等式或不等式。
如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值可以是连续的，目标函数是变量的线性函数，约束条件是变量的线性等式或不等式，则该类规划问题的数学模型称为线性规划问题的数学模型。
三、线性规划问题的数学模型
1.模型建立的一般步骤
从生活中的实际问题到數学模型的建立，一般有以下三个步骤：根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
2.数学模型的基本形式
（1）一般形式
max（或min）z=c1x1+c2x2+L=cnxn
其中，aij（i=1，2，Lm；j=1，2，Ln），
bi（i=1，2，Lm）都是常量，xj（j=1，2，Ln）是非负变量。
（2）简约形式
max（或min）z=
四、两个变量的线性规划模型的应用及求解
1.具体实例
（生产计划问题）某企业要生产甲、乙两种产品，该企业现有的资源量是：设备18台时，原材料A4吨，原材料B12吨；已知生产每吨产品所需消耗原材料及每吨产品的获利如下表。问应如何确定生产计划，使企业获利最多。
由数据列出下表：
表1 资源—产品表
模型建立。设甲、乙产品的产量分别是x1，x2，企业获利总额为z。该问题转化为求x1，x2的值，使其满足：
并使函数z=3x1+5x2取最大值。
于是，该生产计划问题的数学模型为：
maxz=3x1+5x2目标函数
约束条件
2.模型求解
（1）图解法
图解法适用于求解如下只有两个变量的线性规划问题。
max（或min）z=c1x1+c2x2
满足约束条件的x1、x2称为线性规划问题的可行解，所有可行解的集合称为可行域，使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。
图解法的步骤可概括为：在平面上建立直角坐标系；图示约束条件，找出可行域；图示目标函数和寻找最优解。
下面，用图解法求解上述线性规划问题（见图1）。
從图上容易得出本问题有唯一最优解：Q2（2，6）。
（2）WPS表格求解
Excel办公软件具有强大的表格处理能力，同时也具有强大的线性规划问题的求解功能。它对线性和整数规划问题的求解，利用的是有界变量单纯形法和分支界定法原理。本文所用的Excel环境为Office2016版的WPS表格，其功能与OfficeExcel相媲美，也可进行规划求解运算。其操作步骤比较简单，可以概括为：
①新建一个WPS表格文件，根据题设条件输入关于甲、乙产品的相关信息，设置可变单元格（即决策变量）。本题中有两个决策变量，所以设置两个。
表2 WPS表格变量
②在WPS表格最上面的菜单栏中找到数据，点击数据标签，在中间位置找到模拟分析，再在下拉菜单中找到规划求解，点击后会弹出如图3的对话框。目标单元格是总利润计算公式所在的单元格，可变单元格是决策变量，即要求的甲、乙产品的数量，约束为当前资源小于等于资源限制单元格。
图3 规划求解对话框
③勾选“使无约束变量为非负数”（本题是实际问题，要求约束变量是正数），点击求解按钮即可直接求出该线性规划问题的解。这时计算结果已经显示出来，见图4。点击“保留规划求解的解”，可以将解留在表格上，再点击“确定”即可。
图4 规划求解结果
从表格中可知，上述的线性规划问题有唯一最优解，最优解为生产甲产品2件，生产乙产品6件。若点击图4右侧的报告，则会分别得到运算结果报告和极限值报告（见图5），该报告充分说明了运用WPS表格求解线性规划问题的可行性和有效性。
针对例题所代表的两个变量的具体实例，本文给出了图解法和WPS表格求解法两种不同的求解方法。但是，一般来说，在实际生活中遇到的线性规划问题，需要花大量精力去建立模型。很多情况下，为了尽可能地符合实际情况，需要建立多变量的模型，此时，快速高效地得到模型的最优解成为解决问题的关键一步。
四、结论
线性规划是帮助人们进行数学建模的一种数学方法与手段。线性规划问题不仅可以求解经济、管理、交通运输，以及军事等各个方面的优化问题，而且在工农业生产、经济管理和交通运输等方面也有极其广泛的应用。但在其建立数学模型的基础上，手动计算的繁琐复杂给线性规划的推广与应用带来了诸多不便，传统的解法将会失去作用。然而利用计算机软件工具会使计算过程大大简化，这有效推广了线性规划在各行各业中的应用，有助于应用数学知识解决实际生活问题。
参考文献：
[1]胡运权.运筹学基础及应用[M].北京：清华大学出版社，2012.
[2]韩佳伶.利用计算机工具求解运筹学中线性规划问题[J].现代交际，2010（10）：43.
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