摘要：在现代物流业中，物资调度越来越受重视，如何快捷调度并使企业运费最低，应用运输问题的线性规划模型进行规划求解是一个有效的方法。应用线性规划模型求解，在运输单位运价表上进行表上作业是中高职教育教学中最常用的方法，同时利用Excel表格内置的规划求解也成为现代教育的重点之一。
关键词：产销平衡运输问题；最小元素法；伏格尔法；Excel求解
1.运输问题的数学模型
已知有m个生产地Ai ， i=1，2，…，m，可生产某种产品，其生产量分别为ai ， i=1，2，…，m。有n个销售地Bj ， j=1，2，…，n，其销售量分别为bj ， j=1，2，…，n。从Ai到Bj运输单位物资的运费为Cij，如何调运该产品使在满足各销售地销售的前提下，使总运费最低。
面对上述问题，我们用xij表示从Ai到Bj的运量，要使总运费最低，可以利用以下数学模型：
2.利用最小元素法求解
面对此类问题时，对中高职学生来说，我们不建议学生利用线性规划的单纯形法求解，单纯形法中的矩阵与增广矩阵对学生的现有知识能力来说难度太大，因此最小元素法就成为一种较容易接受的解题方法。
最小元素法的解题思路是就近供应，即从单位运价表中首先找出最小的运价，然后寻找次小运价，一步步寻找较小运价，得到最终的调运方案。
例某公司经销甲产品，该公司下设三个工厂。每日产量分别为：A1为7吨，A2为4吨，A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销售地。各销售地每日销售量分别为：B1为3吨，B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知各工厂到各销售点的单位产品运价为如表1-1所示。问该公司如何调运产品，使总运费最低。
利用最小元素法求解时，第一步从单位运价表中找出最小运价为A2到B1，此时的运价为1，首先将A2产品供应给B1。但是由于A2产量大于B1需求量，因此A2产品除了供应给B13吨以外，还有1吨剩余。由于B1已经满足需求，此时将B1所在列划除。
第二步，在未划去的元素中再次找到最小运价为A2到B3，此时的运价为2，确定将A2剩余的1吨供应给B3， A2生产的所有产品已分配完毕，将A2所在行划除，得到表1-2。
第三步，在表1-2未划去的元素中再找出最小运价为A1到B3，此时的运价为3；B3由于已经由A1分配了1吨，还需3吨，则由A1到B3再运3吨即可。再次将B3所在列划去；这样一步步进行下去直到运价表中所有元素都被划去，最后可得一个调运方案，见下表。
表1-3综合调运方案表
结合表1-3的单位运价表可知，该方案的总运费为z=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10+3×5=86。
3.利用伏格尔法求解
伏格尔法解题思路为生产地的产品不仅按最小运费供应，而且考虑次小运费，两者之间差额越大，在差额最大值中采用最小运费，确定最终调度方案。
在上述案例中我们采用伏格尔法计算的步骤为：
第一步，在表1-1单位运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表2-1
第二步，在行或列差额中选出最大值，选择它所在行或列中的最小元素。在表2-1中B2所在列为差额最大，B2中的最小元素为4，则确定将A3产品优先供应给B2的需求。A3生产9吨产品其中6吨供应给B2，还有3吨剩余，同时将B2列划去。
第三步，在未划去的元素中再分别计算出各行、各列的最小运费和次小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。重复第一、第二步，直到所有元素都被划去为止。得到最终调运方案，见表2-2.
表2-2综合调运方案表
此时由伏格尔法计算出的最小运费为z=3×1+6×4+5×3+2×10+1×8+3×5=85。
由此可见，伏格尔法与最小元素法求解最小运费时的基本原理相同，而且伏格尔法求出的最优解比最小元素法求出的最优解要合适，费用更省。原因是在最小元素法求解过程中，我们只注意到了最小的运费，而忽视了这一处的运费的节省，有时会造成在其他地方的运费更多，从而造成了费用相对增加。
4.利用Excel表格求解
在现代中高职教育中，我们不仅仅要教会学生懂的如何去计算，更应该让他们用更先进的手段来解决运输调度问题。由于很多中高职学校中并未购置相关的如MATLAB软件，因此利用现有的Excel软件教学，吸引学生学习积极性，也成为现代物流教学的重点发展方向。
以上面案例为基础，讲解一下如何应用Excel表格计算企业调度运费。第一步：在电脑上新建一个Excel表格，并在表格内录入相应的单位运价表和产销平衡表。并在下面建立一个空的最优解的表
第二步，在表格中加入计算公式，使G8=SUM（C8：F8）；G9=SUM（C9：F9）；G10=SUM（C10：F10）；C12=SUM（C8：C10）；D12=SUM（D8：D10）；E12=SUM（E8：E10）；F12=SUM（F8：F10）。A12= =SUMPRODUCT（C2：F4，C8：F10）。如图1所示
图1
第三步，通过“工具”→“规划求解”，打开“规划求解参数”。设置目标：目标单元格为A12，等于选项组中选择是： 最小值。可变单元格选项是C8：F10，约束条件为C5：F5=C12：F12；G2：G4=G8：G10。
第四步，在“规划求解参数”的“选项”中，选择“采用线性模型”和“假定非负”，点击“确定”，然后点击“求解”。如图2
图2
最后“保存规划求解结果”，得到最小总运输费用为85.如图3
图3
5.结论
物流学科在现代中高职教育中，往往以实际操作，如进出库作业、叉车作业、物流软件操作为主，很少有能体现物流思想与运筹学方法又切合实际的作业问题。作为物流中最简单的运输作业调度，可以从纸上计算到Excel表格求解，如何让学生掌握知识，懂的如何对运输车辆进行智能调度，优化物流运输的车辆调度方法成为现代物流教学的方向之一。（作者单位：广东省海洋工程职业技术学校）
参考文献
[1]《运筹学》教材编写组，运筹学[M]，北京，清华大学出版社，2005： 78-83
[2]郑鸿钧，运输问题发收平衡调整与通用EXCEL求解模板[J]，物流技术，2012，7
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