摘 要 傅里叶变换是当前在信号处理领域使用较为广泛的一种变换方式，随着多媒体和计算机的不断变化，对信号的要求也提出了更高的要求。傅里叶变换是一种整体变换，目前还存在多种局限性，本文从傅里叶变换在应用中的局限性为切入点，深入分析傅里叶变换在应用中的不足，同时为傅里叶变换的发展提供切实可行的措施，为我国信号变换等方面提供借鉴和经验。
关键词 傅里叶变换；应用；局限性；克服方法
1 傅里叶变换在应用中的局限性
傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换属于谐波分析，它是一种整体变换，它要求信号的表征完全在一个时域内或者是完全在一个频域内，只有这样才能真正实现傅里叶变换。要想真正理解傅里叶变换一定要有一定的高等数学基础，在傅里叶变换的过程中，级数变换是其中最基本的理论基础，这是傅里叶变换的基础公式，所有的变化都是在这一公式的基础上进行的。
1.1 傅里叶变换在非平稳信号中的局限性
在傅里叶变换中，信号的瞬时频率是其中最基本的组成部分，瞬时频率是信号的谱峰在时间一频率平面上的位置及其随时间的变化情况，是傅里叶变换中最基本，最基础的信号变化情况。如果信号平稳，那么表示瞬时频率的就是一个常数，如果信号不平稳，那么瞬时频率就是一个时间t的函数，且是一个单变量，且随着时间的变换变化。由此可见，傅里叶变换仅仅适用于信号平稳的区域，但是在现实生活中，信号平稳的区域几乎不存在，因此如果在信号不平稳的地区使用傅里叶变换，其结果只能给出总体效果，并不能详细了解信号在某一时刻的变化和特征表现。
1.2 傅里叶变换在时间和频率分辨率上的局限性
分辨率是信号处理中最终的概念之一，是一切研究信号的基础，其中分辨率包括时间分辨率和频率分辨率，它是信号稳定基础的表达之一。在傅里叶变换的时域分析中，其中不稳定规律是傅里叶变换的局限中最常见的规律之一，傅里叶变换中信号的处理要求要尽可能提高时间分辨率和频率分辨率，同时要保证时域窗和频率窗乘积恒定且大于等于二分之一，这就是傅里叶变换中不稳定中的基本规律。
在傅里叶变换的过程中，时间基数t和基础函数ejwt是呈现内积的运算的，构成傅里叶变换中的正交基运算，因此在傅里叶变换中具有时域和频域中固有的不可避免的矛盾，这种直接显示了傅里叶变换中的局限性[1]。
2 傅里叶变换在应用中局限性的克服方法
由于傅里叶变换的不稳定性，整体性，严重阻碍着傅里叶变换的发展，为了推动傅里叶的发展，克服其不足，对傅里叶变换根据实际情况，对其采取连续变换，小波变换和离散变换，这些改进方法，对克服傅里叶变换的不足具有重要的作用。
2.1 傅里叶变换的连续变换
在理论上，傅里叶变换中的连续变换是将平方可积函数f（t） 转化成复指数函数的积分或级数形式，其公式主要是f（t） = ＼mathcal^[F（ω）] = ＼frac{＼sqrt{2π}} ＼int＼limits_{-＼infty}^＼infty F（ω） e^{iωt}＼，dω.。上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F（ω）的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数F（ω）表示为时间域的函数f（t）的积分形式。一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F（ω）为f（t）的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对。一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换，则当f（t）为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦转换或正弦转换。另一个值得注意的性质是，当f（t） 为纯实函数时，F（–ω） = F（ω）成立。这种连续变化会大大消除傅里叶变化时域中信号不稳定的现状，最大限度地将信号变换显示更稳定，更高效[2]。
2.2 傅里叶变换中的小波变换
理论上，小波变换的形式通常都是这样
（1）
其中表示的是小波级数这些基数组合在变换中就形成了其中的基础，小波变换不仅两两正交，而且还会形成归一化，小波级数形式多样，但是一般会有以下几种特性①信号覆盖性能较高。这种形式不管是对一维还是高维区域都能形成良好的覆盖性能，而且还能很好地将一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，这样对于区域的覆盖性将变得特别好，对信号的稳定性和高效性具有良好的作用。②定位性能较好。围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，如这一特征主要是由于小波变换是二维变换，即
2.3 傅里叶变换中的离散变换
将傅里叶变换中的函数定义在离散点非连续区域内，这是在科学计算和数字信号处理领域中计算机对傅里叶变换的前提和基础，在这一条件下，当信号处于有限性和周期性的状态下，就可以使用离散式的傅里叶变换，其函数主要x_n = ＼frac1 ＼sum_{k=0}^ X_k e^{i＼frac{2＼pi} kn} ＼qquad n = 0，＼dots，N-1其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为＼mathcal（n^2），而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为＼mathcal（n ＼log n）。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
离散式的傅里叶变换是在卷积定理，即傅里叶变换与卷积相联系的定律，其在调和的过程中也有这样的理论，这一理论大大弥补了傅里叶变换的整体性的缺陷，对傅里叶变换的小区域使用具有良好的作用[3]。
3 结束语
傅里叶变换从整体上解釋了时间函数和频谱函数之间的内在联系，将其从抽象化实现形象化，在信号平稳的区域其变换方式具有重要作用。当前很多信号变换的研究中，傅里叶变换都是作为基础理论使用的，但是傅里叶变换依旧存在着不可避免的缺点，他对信号的平稳性要求极高，如果信号不平稳就无法捕捉到信号的在某一时间的特征，对信号的整体变化就不能准确的进行研究，其研究缺乏区域定位性能，因此在傅里叶变换的实用中一定要对其进行必要的变换。
参考文献
[1] 马耀庭，邵毅全.傅里叶变换在应用中的局限性及克服方法[J].内江师范学院学报，2008，23（12）：44-46.
[2] 邹启明.一种线性组合型FRFT的电路实现[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2014.
[3] 张礼涛.傅里叶变换在求解微分方程中的应用[J].佳木斯职业学院学报，2012，（12）：198-199.
相关热词搜索： 变换 局限 克服 性及 信号处理
