摘要：微分中值定理是微分学的核心，是微分学中最基本、最重要的定理，是研究函数整体性的有力工具。中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是函数与其导数之间的桥梁，是微分学应用以及自身发展的理论基础。为加深学生对微分中值定理理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文对微分中值定理内容以及三者之间的关系进行了深入阐述。
关键词：微分中值定理；罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理
导数与微分是数学分析中重要的基本概念，微分学是数学分析的重要组成部分，其中微分中值定理是微分学的核心。微分中值定理有罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西中值定理，它们是微分学中最基本、最重要的定理，是研究函数整体性的有力工具。中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是函数与其导数之间的桥梁，是微分学应用以及自身发展的理论基础。为加深学生对微分中值定理理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文归纳介绍了微分中值定理的几种形式。
一、微分中值定理的基本内容
微分中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，它们分别是罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理。定理内容如下：
定理1（罗尔中值定理）若函数f（x）满足下列条件：
（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；
（3）f（a）=f（b）.则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=0
定理2（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足下列条件:
（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；
则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=■.
定理3（柯西中值定理）若函数f（x），g（x）满足下列条件：
（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；
且对任意xε（a，b），有g′（x）≠0.
则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使■=■.
二、微分中值定理的几何意义
罗尔中值定理：如果连续曲线弧AB上每一点都有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，则在曲线弧AB上至少有一条切线与x轴平行。
拉格朗日中值定理：如果连续曲线弧AB上每一点都有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧AB上至少有一条切线平行于弦AB。
柯西中值定理：在曲线｛■ (其中Ｘ为参数，ａ≤x≤b)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点A（F（a），f（a））,B（F（b）,f（b））的弦。
综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为：在区间[a，b]上连续且除端点外，每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线，它们有个共同的特征就是在曲线上至少存在一点，使得过该点的切线平行于曲线端点的连线。
三、三个微分中值定理的关系
在拉格朗日定理中，如果f(a)=f(b)，则变成罗尔定理；在柯西中值定理中，如果F(x)=X，则变成拉格朗日定理。因此，拉格朗日定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日定理的推广。反之，拉格朗日定理是柯西中值定理的特例，罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
四、微分中值定理的理解
（1）罗尔定理的条件不能随意变动，如将定理中任何一个条件去掉或将闭区间连续改为开区间连续，则结论可能不成立。例如函数f(x)=x-1，1就不满足定理的条件。
（2）罗尔定理告诉我们至少存在一点ξε(a，b)，使得f′(ξ)=0。至于ξ位于(a，b)内的具体位置，定理并未说明，但是这并不影响罗尔定理的应用。
（3）从罗尔定理的证明中可以看到符合罗尔定理条件的函数在开区间(a，b)内必存在最大值或最小值。
(4)罗尔定理在开区间(a，b)内使f′(ξ)=0的点不一定是极值点。例如函f(x)=■ (5-x)在闭区间[-1，2]上满足罗尔定理的三个条件，由f′(x)=3x2(■-x)，显然ξ=0有f′(ξ)=0成立，但ξ=0不是f(x)的极值点。
（5）罗尔定理的条件是其结论成立的充分条件，但不是必要条件，也就是说罗尔定理的逆命题并不成立。例如y=x3，xε[-a，a]，a>0，显然函数y=x3在[-a，a]上连续，在(-a，a)内可导，f′(0)=0，但是不存在 α，βε[-a，a]，α<β，使得f(α)=f(β)。
（6）罗尔定理的的三个条件都不满足，但结论却有可能成立。
例如函数f(x)=■，不满足罗尔定理的条件，但是取ξ=■ε(0，π)，f′(■)=cos■=0
（7）拉格朗日定理的是其结论成立的充分条件，但不是必要条件，也就是说的拉格朗日定理逆命题并不成立。
（8）Lagrange定理只断言ξ的存在性，至少有一个，但可能不止一个，除了对一些比较简单的函数外，无法指明这种点的确切位置并且拉格朗日定理结论中的点ξ不是任意的。
例如函数f(x)=■满足linx→+∞f(x)=0，且f′(x)=2cosx2-■sinx2在(0+∞)内存在，但linx→+∞f(x)=linx→+∞2cosx2-■sinx2并不存在，当然linx→+∞f(x)=0不会成立。
（10）微分中值定理反映了函数增量与区间某个导数值之间的关系，从而可以利用函数导数在区间上所具有的特征去研究函数本身在该区间上的性质，微分中值定理在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具。
【参考文献】
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社.2006.
[2]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社.1995.
[3]吴建成.高等数学[M].北京：高等教育出版社.2005.
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