摘 要:我们要解决实际问题,就需要应用数学知识从事物的定量分析中将其数学化,建立数学模型,再利用数学模型解决实际问题。由数学模型的特征,可用于各个领域。
关键词:数学建模 随机模型 初等统计方法 模糊数学 模糊数学模型
中图分类号:O13文献标识码:A文章编号:1673-9795(2011)04(b)-0053-02
科学技术正经历着数学化的过程,自然科学、工程技术、农业、商业、经济、政治中的实际问题,往往要应用数学知识从事物的定量分析中将其数学化,建立数学模型,再利用数学模型来解决实际问题。数学模型的特征是:第一,它是某事物为一特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构,这意味着扬弃、筛选,虽源于实践,但非实际的原型;第二,它是数学的抽象,在数值上可以作为公式应用,可以推广到与原事物相近的一类问题;第三,可以作为某事物的数学语言,可以译成算法语言,编写程序进入计算机。
下面略述几种主要的数学模型的应用。
1 概率统计方法与随机模型
我们知道17世纪中叶有一个著名的故事:保罗和著名的赌徒梅尔(mere)赌钱,他们事先每人拿出6枚金币,然后玩骰子,并约定谁先胜三局,谁就得到12枚金币。赌局开始后保罗胜了一局,梅尔胜了两局,这时一件意外事件中断了他们的赌博。于是两人商量这12枚金币应如何合理的分配。保罗认为,根据胜的局数,他自己应得总数的1/3,即4枚金币,梅尔应得总数的2/3,即8枚金币。但是精通赌博的梅尔认为他赢的可能性大,应该得到全部金币,在争论不休的情况下,他们请教法国数学家帕斯卡(pascal)和费尔玛(fermat)。两人对此问题分别解答,一致裁决是:保罗应得3枚,梅尔应分9枚。
那么,他们是如何裁定的呢？
帕斯卡解决的方案是:若再玩一局,或是梅尔胜,或是保罗胜。如梅尔胜可得全部金币;若保罗胜,则两人各胜二局,应该各得金币的一半。由于这一局两人胜的可能性相等,因此梅尔得金币的可能性应是两种可能性大小的一半,另一半为保罗所有,即保罗应得3枚,梅尔应分9枚。
费尔玛解决的方案:若再玩两局,会出现四种可能的结果:(梅尔胜,保罗胜)、(保罗胜,梅尔胜)、(梅尔胜,保罗胜)、(保罗胜,保罗胜),其中前三种结果都使梅尔胜,只有第四种结果才能使保罗取胜。所以梅尔取胜为3/4,得9枚金币;保罗取胜为1/4,得3枚金币。两人的答案一致。Pascal将此问题解法整理,发表成为第一篇概率论论文。这一问题直接导致了新的数学理论——概率论的诞生。17世纪中叶概率论问世之后,扩大了数学的应用范围,数学方法有了新的突破,出现了概率统计方法,导出了新的教学模型——随机模型。
其中著名的有几何与代数结合的经典例子:蒲丰试验(看下落的针能否落在狭长的区域);在同一条件下投掷相同硬币2000次,观察其正反面的次数,从而证实两者概率相等为均为。这些例子都是数学建模思想的集中体现。
例1:某车间有200台车间,它们独立地工作着,开工率各为0.6,开工时耗电各为1千瓦,问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.99的概率保证这个车间不会因为电力不足而影响生产。
这里的叙述已把问题数学模式化,提出了各车床工作的独立性假设,并把所谓正常生产的要求加以明确化,这是在用数学解决生产实际问题时必须经过的一步。
现在,这成为试验次数n=200的伯努利试验,若把某台车床在工作看作成功,则出现成功的概率为0.6,计某时在工作着的车床数为ξ,则ξ是随机变量,服从p=0.6二项分布,问题是要求r,使p|ξ≤(0.6)(0.4)≥0.999
我们可以利用积分极限定理计算这个概率:
(0.6)(0.4)=φ
()-φ(
=φ()-φ(-17.32)=φ()≥0.999,
查表得=3.1
求得r=141,这个结果表明P{≤141}≥0.999,所以我们若供电141千瓦,那么由于供电不足而影响生产的可能性小于0.001,相当于在8小时工作中有半分钟受影响,这在一般工厂中是允许的。
2 初等统计方法与实验公式
“问题解决”是20世纪40年代由美国数学家提出,由此衍生的自学能力与创新能力是国际数学教育的目标之一,“问题解决”是一个过程,在这个过程中要渗透完整的计划,提供让我们解决问题的概念和技能,这一思想得到了国际数学界的一致认可。其中最关键的就是如何建立相应的函数关系,使问题得以用数学方法来解决,让理论与实践展开对话。
探讨某一实际问题,研究其中某些因素的函数关系,往往要对多因素进行筛选,找出主要因素,从若干调查统计资料中寻求反映该问题的数学模型,但是这种规律只能是近似的,是依靠统计资料的,成为经验公式。从方法上讲,是一种不完全的归纳法,其正确性是有局限的;从理论上说,是用离散的点集去模拟某一连续的曲线,只能是某种程度的拟合,最好要附加可信度,一般的经验公式都可以应付自如。我们利用初等统计方法建立的经验公式大致有:
(1)指数函数模型:y=e
(2)对数函数模型:y=log(x+b)
(3)幂函数模型:y=ax+bx+c等
(4)双曲线模型:lgy=lg(ax+b)
(5)对指数函数模型:y=e+e
(6)生长曲线(S形曲线)模型:
y=,y=k-
例2:30～80岁妇女的正常血压y(收缩压)与x(年龄)岁之间的关系,可以根据下列统计资料(如表1）:
可用最小二乘法寻找一条回归直线y=1.4x+64
这个模型给出了反映问题的经验方式。
3 数学物理方法与微分方程模型
运用数学分析和自然科学知识来建立数学模型的方法,即数学物理方法,它所建立的模型大都是微分方程。
例3:研究N个生物群体的增长情况,发现△N∝N△t,于是建立的微分方程是:
dN=kNdt,解出N=Noe(k>0)
这就是著名的Malthus定律,它适用于细胞的繁殖,人口的增长等。Malthus定律揭示了空间和营养物足够多时,群体是按几何级数增长的特点。地球由于耕地面积的限制,如果不进行计划生育,这个问题将成为世界范围的严重问题,更是地球的严重威胁。
4 模糊方法与模糊数学模型
美国控制论专家Zaden1965年创立模糊数学,数学方法又有了新的突破。隶属函数、模糊关系揭露了模糊现象的本质,解决了经典数学所不能解决的问题,开辟了数学化与数学模型的新领域,使那些难于数字化的学科找到了数学工具,模糊聚类分析模型与综合评判模型起到了独特的作用。
例4:人们对于有色光的认识是从视觉上直接感知的,以后物理上深入研究波长,发现红光波长∈[6000,8000];
绿光波长∈[4600,5700];
蓝光波长∈[4300,4600]从定性分析到定量分析,找到了有色光分类的依据,可见没有数量就没有质量,定性要以定量为基础。我们又建立了有色光的数学模型:
M红(λ)=e-;
M绿(λ)=e-;
M蓝(λ)=e-,
以后Zaden又提出隶属原则、分解原理、拓张原理,并导出模糊方法,不仅拓展了模糊数学的研究对象,对人工智能、控制论、系统分析都起到了巨大的促进作用,机器模式识别就是模糊方法的运用,凡是细胞识别、染色体识别、图像识别、手写体识别、指纹识别、语言语音识别都是人力所难于辨别的,借模板匹配原理用机器加以识别将更加准确迅速、是巧夺天工的,为减轻人类劳动做出了巨大贡献。
数学建模问题是一个充满创新的领域,直接把单纯的数学理论与斑斓的大千世界直接联系起来,使单一的解题变化成开放的思维大冲撞过程,在数学王国中有自己独特又神秘的位置,让我们不断探索,才会收获更多知识的珍珠,解决更多疑难的问题！
参考文献
[1]李瑾.理论探索[Z].
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