[摘要]经济数学模型在经济数学中占有重要的地位，本文从数学模型的基本内涵， 数学经济建模及其重要性， 经济数学模型的特点， 构建经济数学模型的方法， 经济数学模型的分类五个方面就数学模型在经济领域中的应用进行了分析。
[关键词]经济数学 数学模型 应用
经济数学，即在经济中应用的数学，是财经类专业核心课程之一，是经济与数学相互交义的一个新的跨学科领域。其中，经济数学模型在经济应用中占有重要的地位，本文就此谈一些较为常用的内容。
一、数学模型的基本内涵
数学模型是对实际问题的一种数学表述，是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等。建立数学模型是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是一个几何图形。所谓数学建模，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。
数学以纯粹的量的关系和形式作为自己的对象，它完全舍弃了具体现象的实际内容而去研究一般的数量关系，它考虑的是抽象的共性，而不是它们对个别具体现象的应用界限。抽象的绝对化是数学所特有的。相反，包括经济学在内的其他科学感兴趣的首先是自己所抽象的公式数学模型同某个完全确定的现象的对应问题及应用的约束条件。所以，在经济领域的数学运用首要的问题是适用性或说实践性的问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。为简洁而又形象地对事物量化属性和结构特征进行深刻的描述，用字母、数学及其他数学符建立起来的等式或不等式以及图表、图像及框图等对客观事物的数量特征及其内在联系的表达形式，都可称为数学模型。运用数学模型可以研究变量之间的关系，探寻事物的变化规律，用可控变量得出必要的结果，从而概括出理论假说。
二、数学经济建模及其重要性
一般说来，数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题，就必须进行数学经济建模。
数学经济建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化结构的数学刻划。或者说，数学经济建模就是为了经济目的，用字母、数字及其他数学符n5建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统（根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模）与客户进行商业谈判。
三、经济数学模型的特点
1．真实性或现实性。如果一个模型客观地反映了原型或子原型的量与量的关系，则称此模型具有真实性或现实性。
2．一般性或普遍性。如果模型的数学结构能够用于许多其他原型，则称此模型具有一般性或普遍性。
3．简洁性。如果模型能突出原型的主要矛盾和特征，而且忽略、舍弃次要的矛盾和特征，则称模型具有简洁性。
4．精确性。如果模型能够在一定程度上，比较准确地刻画原型数量方面的特征，则称模型具有精确性。
5．有效性。如果模型可以多方面地从不同的角度刻画经济原型或可以派生出较多的信息，而且具有多种功能，则称模型具有有效性。
这些准则并非一定之规，使用时可以权衡利弊，有所取舍。
四、构建经济数学模型的方法
一般来说，对于经济学问题，构建一个合理有效的数学模型主要有以下步骤。
1．深入了解实际问题，以及与问题有关的背景知识。
2．根据研究的目的和任务，对所要研究的现象进行全系统的周密调查，以获取大量的数据资料，并对数据进行分组整理。
3．通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象，明确模型中诸多的影响因索，并找出主要因索，用数量和参数来表示这此因索。运用数学知识来描述问题中变量参数之间的关系，初步列出数学关系式。
4．对数学关系式进行简化、合并，最终确立数学模型。
5．使用已知数据及观测数据，利用相关数学方法求出所建模型中参数的估计值，从而确定模型。
6．对所确定的模型参数进行偏差分析，把模型的结果与实际观测进行分析比较，以考察模型是否符合实际问题。若偏差较大，模型必须进行调整修改，重复前面的建模过程，直到建立出一个经检验符合实际问题的模型。
数学经济建模还可以用流程那样简明的形式来表示，概括起来，流程是由下面一些步骤组成的。
（1）对现实经济问题的原始背景有深刻的了解和深入细致的观察，并从中抽出最本质特征的东西。即抓住主要因素，暂不考虑次要因素。从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。
（2）根据已经掌握的经济信息直接翻译为数学术语，把理想化的自然模型表示成一个数学研究的题材——数学经济模型。
（3）运用数学知识，得到关于这个模型的一个解。这一步要求对某些数学技巧具有一定的基础知识。为管理类的学生所学习的数学知识，提供了用武之地。
（4）用理想化自然模型的术语对所得的解进行解释和说明。
（5）根据问题的原始背景对所得的解进行解释和说明。
（6）所得结果的有效性要加以验证。如果由模型算出的理论值与实际值比较吻合，则模型是成功的。如果理论值与实际值差别很大，则模型是失败的。如果理论值与实际值部分吻合，则应找原因，发现问题，修改模型。
五、经济数学模型的分类
数学经济模型可以按变量的性质分成两类，即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型，确定型的模型则能基于一定的假设和法则，精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多，加之相互交叉渗透，又派生出许多分支，所以，一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型，既要视问题而行，又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科，充分发挥自己的特长。下举两例供参考。
1．总成本的数学模型
总成本是指生产者用于生产商品的费用。按性质可分为两类：第一类成本的特点是短期内不发生变化，即不随商品产量的变化而变化，称为固定成本（厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等）；第二类成本的特点是随商品产量的变化而变化，称为变动成本（通常有能源费用、原材料费用、劳动者的工资等等）。设产量为q，固定成本为C0（非负常数），可变成本为C1，（q）则总成本=固定成本+可变成本，即C= C0+ C1（q），该式称为总成本模型或总成本函数。当产品产量不大时，成本C是产量的线性函数；当产品产量较大时，由于固定成本此时不能再认为是不变的，所以成本C与产量q不再是线性关系，而是非线性关系。
单从总成本无法看出生产者生产水平的高低，还要进一步考察单位商品的成本，这就是平均成本。平均成本=总成本/产量。设产量为q，总成本是C（q），平均成本C（q） = C（q）/q为平均成本模型也称为平均成本函数。
2．利润函数的数学模型
利润就是生产者收入扣除成本后的剩余部分，即收益与成本之差。设产品的销售量为q，价格为P，则收益R=pq（q>0）。故而利润为销售量q的函数，即L（q）= R（q）-C（q）（q>0）称为利润模型或利润函数。
设已知生产某种商品q件时的总成本（单位：万元）为C（q）=10+5q+0.2q2（万元），如果每售出一件商品的收入为9万元，则该商品的收益函数R（q）= 9q（万元），利润函数为L（q）= R（q）-C（q） = 4q- 10- 0.2q2（万元），而单位商品所获得的利润即平均利润函数为L（q） = L（q）/q= 4-10/q-0.2q（万元/件），生产10件该商品的总利润L（10）=10万元，此时平均利润L=1万元/件，而生产20件该商品时的总利润为L（20）=-10万元，从上例可知，利润并不总是随产量的增加而增加的，生产20件此时要亏损10万元。
生产者提供商品的首要目的就是获取利润，决定生产规模也是获得最大的利润。对于生产者来说，成本总是随着产量的增加而增加的，因而生产决策者不能只盲目地追求产量，还需要根据利润的变化情况确定适当的产量指标。
利润函数L（q）=R（q）-C（q）= 0时，此时生产者既不赢利也不亏损，即收支相抵，我们将满足L（q）=0的点q0称为盈亏平衡点（又称为保本点）。盈亏分析常用于企业经营管理中各种定价或生产决策。
六、结论
随着经济学的发展，用数学工具来分析和求解问题已成为对各经济领域进行研究，从而获得最佳解决方案的必要手段。特别是近年来随着计算机技术的快速发展，出现了多种数学应用软件，使得复杂模型的处理求解变得更加容易，也使应用数学模型解决经济问题变得更加准确和可靠。
参考文献：
［1］张丽娟.高等数学在经济分析中的应用.集团经济研究，2007，2.
［2］王宇超.数学在经济生活中的应用.宿州师专学报，2002，3.
［3］彭友霖，刘国良.市场经济管理中的数学建模.商场现代化，2007，7.
（作者单位：重庆工商大学数学与统计学院）
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