摘要：本文应用万有引力公式和高斯定理两种方法分析了在考虑到地球密度非均匀分布情况下地球内部引力场强度随到地心距离变化的g-r图像。此外，笔者还分析了五十名大三学生解决这个问题时的思考过程，发现了他们在解决此问题时所犯的一些错误，并且提出了如何应用此问题纠正学生对高斯定理理解的错误。
关键词：引力场强度；高斯定理；万有引力公式
中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2007)11(S)-0009-4
1 问题的提出
笔者最近对某高师院校物理系大三学生进行了一项调查。题目是“你认为以下说法是否正确：地球对深井中物体的吸引力比对地面物体的吸引力大？”在被访的五十名学生中有35名学生同意此说法，有7名学生不同意，有8名学生没有给出答案。笔者对学生的思考过程进行记录与研究，发现学生的思考过程如下：
（1）认为此论述正确的大部分学生的思考过程是：因为地球内部一点到地心距离比地球表面物体到地心距离小，把距离代入万有引力公式 ，因为其它量都相等，所以地球对深井中物体的吸引力大。
（2）持反对意见的学生们认为，地球内部物体受到的地球引力应该比地表物体更小。他们首先想到这个问题有些像之前在电磁学中遇到的“求带电球体体内电场分布”那种类型的题目。根据高斯定理 ，求解球体内部一点的场强，因为高斯面内包围的电荷量小了，即②式右边变小，所以内部电场强度一定小于表面处。之后，学生们想到力学中的引力场也可以应用高斯定理，并且地球内部引力场分布应该与带电球体电扬分布一致。把带电球体内部一点的场强推广到地球引力场，过盆地内部一点做高斯面，其内部包围的质量少了，所以引力场应该小于地表处引力场，所以受力应较小。
同学们为什么会得出两种相反的答案？这两种思考方法哪种正确？其间带给我们什么思考呢？下面笔者应用万有引力公式和高斯定理两种方法，对此问题加以讨论，分析同学们的思考过程。
2 应用万有引力公式求解地球内部引力场强度
首先来分析此问题是否能够像有些同学认为的那样，直接应用万有引力公式 得出结论。万有引力定律的原始形式只给出了质点产生的引力场分布，而地球是有一定大小的球体，严格的说我们需要知道地球物质在各处产生的引力场分布。在实际计算中，我们分两步解决此问题。首先，通过万有引力公式和叠加原理解决空心球壳问题，之后把球体看作是很多球壳的叠加。
令球壳的半径为R，质量为M，均匀分布在球面上。以一个质量为m的质点放在各处去探测它所受的引力 （g为质点产生的引力加速度，即该点引力场强度）球壳在各处产生的引力f，与加速度g的规律为
即在球内完全没有引力；在球外看来，球壳的全部质量相当于都集中在球心。
之后进行第二步，计算球体的引力场。令球体的半径为R，质量为M，球对称分布于球体内，把球体分成许多层同心球壳。现把质量为m的物体放在距地心距离为r(r 由上述分析我们可以发现直接应用万有引力公式的那部分同学的错误之处在于：他们只考虑到地球内部半径减小对万有引力和引力场强度的影响，却没有考虑内部质量减少同样会改变引力场强度的量值。一方面深度增加使半径减少（r↓），导致物体受到地球的引力增大，即引力加速度增加。另一方面，地球内部的物体，与放在地球表面的物体相比，其内部包围的质量也比较小，导致物体所受到地球的引力减少，即引力加速度减小。因此在地球内部，引力究竟是变大或变小，取决于以上两个方面谁的影响占主导地位。 3 应用高斯定理求解地球内部引力场强度 3.1 引力场中的高斯定理 我们知道在引力场中有高斯定理： ，上式表示场强矢量g对任意封闭曲面的通量等于曲面包围的全部质量的-4πG倍。其中G为万有引力常数，g为引力场强度，即在引力场作用下质点位于该点时具有的引力加速度，引力场中的不同点的引力加速度是不同的。 3.2 地球内部的引力场强度分布 由公式③，我们得出了解决这一问题的第二种方法——引力场高斯定理。由此看来上面调查的七位同学从高斯定理出发考虑这一问题是正确的。从他们的回答中，不难看出，他们是受到高斯定理在电场中应用的启发，才想到把它推广到地球引力场的。他们比较了引力场与电场的相似之处，并且联想到之前经常看到的例题，均匀带电球体的电场分布图： 学生认为地球引力场的分布和图1一样，所以得出结论，认为地球内部引力场强度小于地球表面引力场强度。 上面的分析表明，这些学生成功地运用类比方法，找到了解决地球引力场分布的途径。但学生们在这之中却忽视了一个重要前提即运用高斯定理得到图1的条件是电荷均匀分布于带电球体上，那么如果地球引力场也按照图1分布，则地球内点密度也必须均匀分布，如果只是球对称分布是不能得到图1的。证明如下： 设地球总质量为M，密度分布均匀大小为ρ0，研究球体内一给定点的引力场强度，过一定点作以O为球心，半径为r的高斯面S（r≤R）,g为球面S处的引力场强度。 由图3可知，图2与均匀带电球体电场分布图形状相同。 事实上，这种密度均匀分布的模型在多本力学教材中出现。这虽然极大的简化了地球密度分布模型，其结论也符合电磁学中学生对高斯定理基本问题的认识，但是用这简化后的模型得到的g-r分布图和真实情况差距非常大。其实，在高中地理课上我们学习地球内部结构时就已经知道，由于地球内部的压力作用，地球内密度大的物质集中于地球内核，其中包含的元素为金属及其化合物，而靠近地面附近的地壳结构中，组成物质大多是花岗岩，石灰岩，所以其密度相差甚远。地球的平均密度约为5.516g/cm3。而实际测量却表明，地表的物质密度约为2.6-2.85g/cm3，地核由铁及铁盐组成，其密度约为13.09g/cm3，通过地震波对地球内部密度进行精密测量，可得出图4，将图4中密度随半径变化趋势简化为一次函数形式可得到图5。 由图4可知，将地球密度看作是球对称分布是正确的，但是将密度看作是均匀分布是错误的。很显然ρ是r的函数。根据高斯定理，地球内任意一点的引力场强度大小为： （1）在地壳和地幔的上半层，（即半径为6370-3470km）由于地球物质的密度较小，质量变化对g造成的影响要小于半径变化对g造成的影响，故地球引力随深度的增加而缓慢增大，到离地心距离约3470km处达到极大值，即在靠近地面附近g值随深度的增加而增大。 （2）在下地幔与外核层（即半径为3470-1210km），随着深度继续增大，密度随之急剧增大，这使得内部质量减小对引力场造成的影响大于半径造成的影响，地球的吸引力随之急剧减小。 （3）在内核层（即半径1210-0km），由于内核处地球密度变化极小密度可视为常数，所以在内核层，图6与图3曲线趋势基本一致，为一正比函数随半径减小g不断减小，地心处减小到零。 （4）比较图6与图3地球内部g-r分布图像可知，如把地球看作均匀分布的球体则g随r增大而增大，所以到达地球表面处g达到极大值；如果考虑密度随半径的真实变化趋势，则随半径增大g先增大后减小，在r=3470km达到最值。 4 高斯定理在教学中存在的问题 高斯定理作为电磁学中最重要的内容之一，是求解在电荷分布有对称性情况下，电场强度的重要手段。通过大量的习题练习，学生已经熟悉解决球对称电荷分布问题的方法。 但是，学生们对高斯定理理解过于僵化。通过分析学生的作答过程，笔者发现大部分学生认为在运用高斯定理求解球对称图形球体内部电场分布或引力场分布时，有着这样一个错误的认识，即当r减小时，高斯面内包围物质质量变化以r的立方指数减小，而高斯面面积以r的平方指数减小，所以在应用式③求解g时，质量的变化较快，起主要作用。即球内部电场或引力场分布随r减少而减小。 上面所得到的地球内部g-r图象，作为一个很好的例子纠正了同学们上面的错误想法，使大家明白，在体密度分布不均匀的情况下，高斯面内包围的质量（或电荷量）与表面积的变化谁占主要地位需要具体分析。同学们的想法只适用于密度均匀分布的情况，而很多同学却把它推广到了球对称分布的所有球体，这显然是不正确的。 5 结论 （1）运用万有引力公式求解地球内部一点的引力场强度时， 为内部包 围的质量，而同学们往往把它等同于地球总质量。 （2）以往物理教科书和习题中描述地球密度分布模型过于简化，应用这种模型所计算出的地球引力场强度随半径变化规律与事实不符。 （3）学生对高斯定理的理解有局限性，过去学生遇到的问题多为：均匀密度分布的物体ρ(r)=ρ0，即使不是均匀分布而仅是球对称的密度分布，也是ρ随r单调变化，没有遇到过密度变化随r非单调变化的情况，所以同学们在应用高斯定理时经常忽视前提，出现将均匀带电球体的模型推广到任意球对称的球体中此类的错误。教师在进行这一部分的教学工作时，可以通过类比地球引力场分布消除学生的错误概念，使学生真正认识到高斯定理的内涵。 参考文献： ［1］赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学［M］.北京，高等教育出版社，2004.337-346 ［2］卢民强，许丽敏.为学［M］.北京，高等教育出版社，2002.172-175 ［3］赵凯华，陈熙谋.电磁学（上）［M］.北京，高等教育出版社，1985.45-70 ［4］刘本培，蔡运龙.地球科学导论［M］.北京，高等教育出版社，2002.61-70 (栏目编辑赵保钢) 注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
