类比法在概率统计教学中的应用

【摘 要】类比法是数学中最常用和最有效的思维方法，它在数学学习和研究中有着重要地位。本文结合自己近些年的教学经验，引用大量实例论述其在概率统计教学中的应用，以培养学生的创新思维从而达到较好的学习效果。

【关键词】类比法;概率;教学

概率统计是现代数学的一个重要分支，它已被广泛地应用于医学、工程技术、经济管理等各个方面。但据调查得知，由于概率统计的概念较多，方法独特，工具杂加上教学时间短，使得学生在学习这门课程时普遍感觉概念太抽象以致思维难拓展、解题方法难掌握。 因此，如何引入好的教学方法从而提高此门课程的教学质量是当今教育工作者急于探讨的问题。

类比法是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似，从而推测它们在其他属性上也相同或相似的一种推理方法。著名数学家拉普拉斯说过：“在数学里发现真理的主要工具是归纳和类比。”可见它在数学学习中的重要性。在教学中可以让学生先回顾之前学过的知识，并由此引出新知识和新概念，再通过类比法来比较二者的共同点和不同点，从而起到化陌生为熟悉，化抽象为具体，化繁为简的作用，帮助学生贯通知识间的联系，使知识体系纵横交融形成系统的知识网络，从整体上掌握知识。下面我们将浅谈类比法在概率统计的概念教学和习题教学中的应用。

1 类比法在概念教学中的作用

匈牙利数学家玻利亚说：“类比是一个伟大的引路人。”类比作为一种思维方法，其侧重的不是逻辑性、确定性、严格性，而是创造性、猜测性、灵活性。概率统计中的许多概念都可以通过类比引出并揭示其本质。此外，我们可利用原有的认知结构借助类比法，有效地掌握新知识，并将这些知识有机系统地统一起来。

1.1 随机事件的关系运算与集合的关系运算的类比

由于事件可以看成由某些样本点构成的集合，因此可将二者类比学习。例如：集合A∪B表示其中任意一个元素x仅属于A或者仅属于B或者属于A和B的公共部分，我们可以形象地用韦氏图来表示。此时若将A和B看作是事件，则事件A∪B表示“事件A和事件B至少有一个发生”，记作A+B，即概率论中事件的和等同于集合论中集合的并集。同样的类比方法，我们可将集合论中集合的交集类比到概率论中事件的积中去。

在教学中可引导学生先回顾集合之间的各种关系运算，随之再引出相应的事件间的关系运算，最后归纳总结。此外，事件运算的性质如交换律、结合律、分配律均可对照集合的相应性质进行类比学习。

1.2 离散型随机变量与连续型随机变量的类比

表1

对于离散型随机变量，学生感觉较容易，但对于连续型随机变量，往往学生感觉抽象难理解。由于分布列在离散型随机变量中的地位与密度函数在连续型随机变量中的地位等同，因此对于离散型随机变量中的边缘分布列与联合分布列的关系可以过渡到连续型随机变量中边缘密度函数与联合密度函数的关系中去，此外诸如随机变量的独立性的充要条件以及期望与方差的计算均可轻松过渡。具体我们可通过“把连续的问题离散化”这种方法，实际是将对离散型随机变量中对分布列的求和变成对连续型随机变量中的密度函数求积分即可。表1我们将对其中的部分性质及计算作一个简要的类比。

1.3 一维随机变量与二维随机变量的降维类比

任何学习都是循序渐进的，一般来说低维空间的知识相对简单，容易被学生接受，所以最好的方法是从低维空间向高维空间过渡学习。降维类比法是将高维空间中的数学对象降低到低维空间中去观察，利用低维空间中数学对象的性质类比归纳出高维数学对象的性质。

我们知道一维离散型和连续型随机变量的分布函数分别为：

在研究二维离散型和连续型随机变量时，我们可用降维类比法得到其联合分布函数分别为：

通过上面的类比得知抽象的二维随机变量的分布函数与一维随机变量有着一致的表达式，从而大大降低了学习的难度。此外，二维离散型随机变量的联合分布列与连续型随机变量的密度函数的性质与计算均可借助一维随机变量的相关知识引入。

2 类比法在习题教学中的应用

类比法是解题的有力工具。在习题教学中，教师若常引导学生用类比思维去寻找解题的方法，会起到事半功倍的效果。我们首先可以利用条件、结论或者结构形式上的类似，联想与之类似的概念性质从中得到启发。例如，在概率统计中有这样一题：

已知连续型随机变量X的概率密度函数为fx=ae■ x>00     x≤0，求a。

分析：此题若由密度函数的性质■，通过积分可求得a=3。但是我们若通过与指数分布的密度函数fx=λe■ x>00     x≤0进行对比，可知a=3。这样在解题中不需要计算便可得到结果。

总之，类比法是创造性地表达思维的重要手段，在概率统计教学中有其特有的地位和作用。在概率论的类比法教学中，不仅要根据学生已有的知识提供恰当的类比对象，更为重要的是引导学生在类比中去发现目标对象与类比对象的本质区别，从而真正地认识和理解目标对象，否则则可能导致错误的理解与认识。事实上，类比法在概率统计教学中的应用远不止于上述几个方面，这里就不一一赘述。在概率论教学中若恰当应用类比法，可使学生将所学的知识条理化系统化，有利于提高学生分析问题与解决问题的能力，培养学生的创新意识和创新精神。

【参考文献】

（上接第165页）[1]G.波利亚.数学与猜想（第一卷）：数学中的归纳与类比[M].北京：科学出版社，1984.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]曹贤通，李海峰.概率统计[M].郑州：黄河水利出版社，1999.

[责任编辑：周娜]