摘 要：在抗震救灾过程中，为了确保救灾工作的顺利进行，可采用效用理论来提高决策质量。本文通过对决策者进行V-M心理实验法确定在不确定条件下的后果或益损值的效用值，借助MATLAB软件求得决策者的效用曲线，进而可判断出决策者的风险偏好态度和计算出所有益损值的效用值，然后利用最大期望效用值确
定最佳的救灾方案。
关键词：抗震救灾，效用曲线，期望效用值，决策者
一、引言
近年来自然灾害频繁发生，主要包括地震、旱灾、洪涝、风雹、山体滑坡、泥石流森林火灾等，这些自然灾害对社会造成的危害是触目惊心的，例如：云南保山森林大火过火面积超过1200亩、新疆于田地震致6334人受灾等。当灾难降临时，我们希望尽可能减少人员伤亡，降低财产损失，这就使得以抢险救灾为代表的非战争军事行动能力受到了国家和军队的高度重视。在执行任何一次抢险救灾任务前，指挥员必须做出最优决策方案，因人而异，每一名指挥员的风险偏好态度不同，因此以往的期望值决策准则就不再是最恰当的解决方法，而效用分析适用于任何类型的决策者，同时它还可判断出决策人的偏好态度情况。效用最早由丹尼尔·伯努利提出的，用以衡量人们对自己拥有钱财真实价值的态度，其最大效用原理是指在风险和不确定条件下，用最大期望效用值作为决策者的决策目标。1944年冯·纽曼和摩根斯坦（Von Neuman and Morgenstern）运用数学知识通过公理化假设，对理性人在不确定条件下的选择进行分析共同创立了期望效用函数理论，该方法也称为标准测定法。
二、基本概念
效用值是用来度量人们对风险和不确定条件下决策后果或益损值的主观感受或偏好态度，用0与1之间的数值来表示。效用值是一个相对指标值，决策者将最偏好的益损值的效用定义为1，最不好的益损值其效用为0。当决策者一定时，效用即为决策者后果或益损值[v]的函数，称为效用函数，记作[U(v)]。在直角坐标系下，横坐标表示益损值，纵坐标表示效用值，把决策者对益损值的态度绘成的曲线称为效用曲线。根据决策者的偏好态度，效用曲线可分为：保守型效用曲线、中立型效用曲线、冒险型效用曲线和渴望型效用曲线。
现有两种可选方案α，β，对决策者而言，α表示无风险获得益损值[v]，β表示以概率[p]获得益损值[v1]，或以概率[(1-p)]获得益损值[v2]。若在某种条件下，决策者认为α与β两种方案等价，即：
[U(v)=pU(v1)+(1-p)U(v2)]
则称[v]的效用与[v1]、[v2]的期望效用等价，也称为确定性等值或肯定等值。
期望值即一个决策变量的期望值，是指它在不同自然状态下的益损值（或效用值）乘上相对应的发生概率之和。
[E(vi)=j=1nvijpj]
其中：[E(vi)]为变量[vi]的期望值；[vij]为变量[vi]在自然状态[sj]下的益损值；[pj]为自然状态[sj]发生的概率。
三、案例分析
在抗震抢险过程中，某部队接到上级命令，要求在最短的时间内赶到140公里以外的某个重灾区。可供选择的行军路线有Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号三条道路，这三条道路均受到地震破坏，据估计每条道路受到“严重破坏”、“轻度破坏”和“一般破坏”的概率为0.3，0.5，0.2。在受到不同程度破坏的条件下，部队通过各条道路所需的时间分别近似为10，4.5，3；6.5，5，3.5；7，6，5小时。问该部队应选择哪一条路线作为行军路线，才能以最少的时间到达重灾区？
解：Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号三条道路分别记为策略[t1,t2,t3],严重破坏、一般破坏和轻度破坏分别记为[s1,s2,s3]
[E(t1)=10×0.3+4.5×0.5+3×0.2=5.85]
[E(t2)=6.5×0.3+5×0.5+3.5×0.2=5.15]
[E(t3)=7×0.3+6×0.5+5×0.2=6.1]
[\&0.3\&0.5\&0.2\&期望值\&[s1]\&[s2]\&[s3]\&[t1]\&10\&4.5\&3\&5.85\&[t2]\&6.5\&5\&3.5\&5.15\&[t3]\&7\&6\&5\&6.1\&]
表一期望值决策准则的决策表
在期望值决策准则下的最优策略应选择Ⅱ号道路作为行军路线。
四、抗震救灾中的效用决策分析
由各方案在不同自然状态下所花费的时间，可设初始效用值为[u(3)=1,] [u(10)=0]。不同的决策者有不同的效用曲线，下面通过V-M心理实验法对决策者不断进行提问并确定其他效用值。
提问：以50%需10小时到达目的地或以50%需3小时到达目的地的肯定等值花费时间是多少？
答：（根据决策者的经验和冒风险的态度回答）5.5小时。
于是有：[u(5.5)=1×0.5+0×0.5=0.5]
提问：以50%需10小时到达目的地或以50%需5.5小时到达目的地，同样，以50%需5.5小时到达目的地或以50%需3小时到达目的地的肯定等值花费时间各是多少？
答：（根据决策者的经验和冒风险的态度回答）7.5小时和4小时。
[u(7.5)=1×0.5+0.5×0.5=0.75]；
[u(4)=0.5×0.5+0×0.5=0.25]
根据前两次提问，我们可将益损值分为四段[3,4,][4,5.5,][5.5,7.5,][7.5,10,]此时可确定四种方案：
方案一[(γ1)]：以50%需3小时到达目的地或以50%需4小时到达目的地的肯定等价花费时间为[t1]；
方案二[(γ2)]：以50%需4小时到达目的地或以50%需5.5小时到达目的地的肯定等价花费时间为[t2]；
方案三[(γ3)]：以50%需5.5小时到达目的地或以50%需7.5小时到达目的地的肯定等价花费时间[t3]为；
方案四[(γ4)]：以50%需7.5小时到达目的地或以50%需10小时到达目的地的肯定等价花费时间为[t4]；
问：这四种方案的肯定等价花费时间分别为多少？
答：[t1=3.5,][t2=4.5,][t3=6.8,][t4=8.8]。
[u(3.5)=1×0.5+0.75×0.5=0.875]
[u(4.5)=0.75×0.5+0.5×0.5=0.625]
[u(6.8)=0.5×0.5+0.25×0.5=0.375]
[u(8.8)=0.25×0.5+0×0.5=0.125]
采用改进的V-M心理实验法，决策者根据自己的主观判断和偏好态度得出了相应的等值花费时间，利用确定性等值计算方法得到了各等值花费时间的效用值。下面我们用MATLAB软件拟合出决策人的效用曲线和各方案在不同状态下益损值的效用值，其MATLAB程序如下：
x=[3,3.5,4,4.5,5.5,6.8,7.5,8.8,10];
u=[1,0.875,0.75,0.625,0.5,0.375,0.25,0.125,0];
plot（x,u,"*"）
p=polyfit（x,u,5）
u=p（1,1）*x.^5+p（1,2）*x.^4+p（1,3）*x.^3+p（1,4）*x.^2+p（1,5）*x+p（1,6）;
plot（x,u,"-+r"）
R=sum（（polyval（p,x）-u）.^2）
T=[10,4.5,3;6.5,5,3.5;7,6,5];
S=p（1,1）*T.^5+p（1,2）*T.^4+p（1,3）*T.^3+p（1,4）*T.^2+p（1,5）*T+p（1,6）
P=[0.3;0.5;0.2];
E=S*P
通过线性拟合，可确定出决策者的效用拟合曲线为：
[u=0.0001x5-0.0034x4+0.0308x3-0.0789x2-0.3475x+2.1748]
决策者的效用曲线如图所示：
从效用曲线可以看出该决策者是偏好于冒风险的进攻型的人，敢于做大胆的尝试。由于曲线是相对平稳的凹函数，所以该决策者所做的决策属于风险中稳妥的策略。
[\&0.3\&0.5\&0.2\&[s1]\&[s2]\&[s3]\&[t1]\&0\&0.65\&1\&[t2]\&0.38\&0.56\&0.86\&[t3]\&0.33\&0.44\&0.56\&]
表二决策者的效用值表
选择三条线路的期望效用值分别为：
[E(t1)=0×0.3+0.65×0.5+1×0.2=0.525]
[E(t2)=0.38×0.3+0.56×0.5+0.86×0.2=0.566]
[E(t3)=0.33×0.3+0.44×0.5+0.56×0.2=0.431]
由于决策者是风险型中偏向稳妥的一类人，因此，决策者在期望效用值下的最优策略应选择Ⅲ号道路作为行军路线。
五、结论
效用理论考虑了决策者对事物的主观感受和风险偏好程度，因此利用效用函数做出的决策提高了决策分析的准确性，同时，通过效用曲线还可以判断出该决策的风险态度情况。
参考文献：
[1]董树军，张庆捷.《军事运筹学教程》[M]北京：蓝天出版社,2006.
[2]胡运权等.《运筹学基础及应用》[M]北京：高等教育出版社,2008.
[3]刘保柱,苏彦华,张宏林.《MATLAB7.0从入门到精通（修订版）》[M]北京：人民邮电出版社,2010.
作者简介：
叶建梅（1986~ ）,女，汉族，重庆人，硕士研究生，助教，图论。
相关热词搜索： 抗震 救灾 效用 函数 分析
