摘要：本文对两道很类似的概率统计问题进行了比较分析，并对解法进行了理论上和计算方法上的讨论。
关键词：可加性；全概率公式；单随机子样；二项分布
引言
概率论与数理统计中有两道题目表述上很类似，却有着本质的差别，稍有不慎，极易解错。本文首先对其进行理论上的深入分析，给出常见解法；其次指出了两者的区别与联系，同时对第二题指出了典型错误解法；概率是统计的基础，统计是概率的应用，本文最后对第二个问题利用统计思想，给出一种简便解法，并利用办公软件Excel，统计软件Minitab讨论了它的计算机实现。
一、理论基础
(1)概率的可加性：若有有限个事件A1，A2，...，An互不相容，则有P(■Ai)=■P(Ai).
(2)全概率公式：设B1，B2，...Bn为样本空间Ω的一个分割，即B1，B2，..，.Bn互不相容，且■Bi=Ω，如果P（Bi）＞0，i=1，2，...，n，则对任一事件A有P（A）=■P（Bi）P（A|Bi）.
(3)简单随机样本：从总体X中随机的抽取n个个体，某一指标（X1，X2，...，Xn）为一子样或样本，称n为子样容量或样本容量,样本中的个体称为样品。
若抽取样本的方法满足
a)随机性：即要求总体中每个个体都有同等机会被选入样本，Xi与X同分布。
b)独立性：样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值， X1，...，Xn间相互独立。则称之为简单随机抽样，称抽取样本为简单随机样本。
可见，简单随机样本X1，...，Xn间相互独立且与同分布。
二、两个实例
例1某工厂生产的一批产品共100个，其中有5次品。从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率？
分析：设事件A表示检查时发现次品不多于1个，则可以分解为两个互不相容事件的并:A=A0■A1，其中事件A0表示检查时没有发现次品，事件A1表示检查时发现一件次品。不难利用概率可加性求解。
解：设A:任取一半来检查，发现次品不多于1个，
A1：任取一半来检查，发现次品为i个， i=0，1.
事实上A=A0■A1，且A0，A1互斥。
由概率的古典定义，基本事件总数为n=Ｃ■■．A0，A1所包含的基本事件总数分别为n0=Ｃ■■Ｃ■■，n1=Ｃ■■Ｃ■■．
从而
P（A0）=■≈0.0281
P（A1）=■≈0.1529.
由概率加法公式得
P（A）＝P（A0）＋P（A1）≈0.02810＋1529＝０．１８１
例2某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05。每100个产品为一批．检查产品质量时．在每批中任取一半来检查，如果发现次品不多于1个，则这批产品可以认为是合格的。求一批产品被认为是合格的概率？
分析:本题与上题不同。生产过程中出现次品的概率为0.05，在一批（100个）产品中不一定恰有5个次品，从理论上说，次品数从0～100都是可能的。设事件Bｉ。一批产品中恰有i个次品。其余100-i个为合格品，ｉ＝１，２，．．．，１００。利用二项概率公式不难计算概率P（Bｉ）。又设事件A表示一批产品被认为是合格的，则A可以分解如下：A=A0■A1．
其中事件Aｋ表示从这批产品中任取一半(50个)检查时发现ｋ个次品，ｋ＝０，１．
先计算在事件Bｉ发生的条件下事件Aｋ的条件概率P（Aｋ｜Bｉ），再利用全概率公式计算事件Aｋ的概率P（Aｋ），ｋ＝０，１．最后利用概率加法定理求解。
解:已知生产过程中出现次品的概率则出现合格品的概率ｐ ＝０．０５，则出现合格品的概率ｑ＝１－ｐ＝０．９５，
所以有
P（Bｉ）＝Ｃ■■（０．０５）■（０．９５）■，ｉ=０，1，2，...，１００．
在事件发生的条件下，条件概率
Ｐ（Ａ■｜Ｂ■）＝■０≤ｉ≤５００５０≤ｉ≤１００
Ｐ（Ａ１｜Ｂ■）＝■１≤ｉ≤５１０ｉ＝０或５１≤ｉ≤１００
于是，按全概率公式得
P（A0）=■P（Bｉ）Ｐ（Ａ■｜Ｂ■）
＝■Ｃ■■（０．０５）■（０．９５）■·■
＝（０．９５）■■Ｃ■■（０．０５）■（０．９５）■
＝（０．９５）■≈０．０７６９．
P（A1）＝■P（Ｂｉ）Ｐ（Ａ１｜Ｂ■）
＝■Ｃ■■（０．０５）■（０．９５）■·■
＝５０×０．０５×（０．９５）■■Ｃ■■（０．０５）■（０．９５）■
＝５０×０．０５×（０．９５）■■Ｃ■■（０．０５）ｊ（０．９５）■
＝５０×０．０５×（０．９５）■≈０．２０２５
最后，由概率可加性得所求概率
P（A）＝P（A0）＋P（A1）≈０．０７６９＋０．２０２５≈０．２７９４
三、区别与联系
例2常见错误解法：将“出现次品的概率为0.05，每100个产品为一批”理解为“100个产品，次品数为5件”，从而解法与例1相同。这种错误根本原因是混淆了“概率”与“频率”的关系。
事实上，例2与例1题设条件是有本质区别的：例1条件相对固定，而例2条件有随机性。题2中的所有可能条件B０，B1，B2，...B100组成一个完备事件组，即Ω=■Bi．其中Bi：100个产品有i件次品(i=0，1，2，...，100)。每一个Bi(i=0，1，2，...，100)都可能引起A的发生，求A发生的概率正是全概率公示解决的问题。从这个角度看，例1只是例2的一个特例了。
四、例2的解法与算法
例2虽已解出，但明显太麻烦了，若题为“如果发现次品不多于5个，这批产品可以认为是合格的，求一批产品被认为是合格的概率”，用上述方法解理论上行得通，但实践上很难办到。我们希望找到其他解法。
注意到题2既然有随机性，问题就变得不同了，从统计的角度看，“工厂生产过程中出现次品的概率为0.05”这是总体的情况，而“在每批中任取一半来检查”就是随机抽样了。
得到的是一个容量为50简单随机子样，每一个分量独立且与总体同分布。这样就可以给出如下解法了。
例2另解：
设X表示该工厂生产产品的合格与否，出现次品的概率为0.05，则X服从两点分布，X~b(1，p)，p=0.05．
每100个产品为一批．检查产品质量时．在每批中任取50件产品检查，这50件具有随机性，代表性，每一件都可代表总体，从而可看作一个容量为50的样本，X1，X2，...，X50独立同分布，且 Xi~b(1，p)，p=0.05，i=1，2，...，50.
又设Ｙ为在每批中任取一半来检查，发现的次品数，则Ｙ＝■Xi，易知Y服从二项分布：Ｙ~b(５０，p)，p=0.05．
发现次品不多于1个，则这批产品可以认为是合格的。求一批产品被认为是合格的概率为
P（Ｙ≤１）＝■Ｃ■■（０．０５）■（０．９５）■
＝（０．９５）■＋０．０５×０．９５４９≈０．２７９４
此法具有一般性，即便题目改为“如果发现次品不多于5个，这批产品可以认为是合格的，求合格的概率”也可轻松解决。
五、计算机实现
由于概率与数理统计中数据处理比较繁杂，办公软件Excel 可以处理一些概率与数理统计问题，统计软件Minitab，Spss等更是功能强大。本文给出例2的如下Excel，Minitab算法。
Excel算法：
1)插入函数BINOMDIST(number-s，trials，probability-s，cumulative)；
2)在函数参数对话框中输入：number-s：1；
trials：50；
probability-s：0.05；
cumulative：1．
点击确定得：
BINOMDIST(1，50，0.05，1)=P（ｂ（５０，０．０５）≤１）=0.279432.
Minitab算法:
1)在菜单栏选择计算——概率分布——二项分布；
2)在二项分布对话框中选择累计概率，试验次数：50，时间概率：0.05；
3)选择输入常量：1.
点击确定得： 累积分布函数
二项分布，n = 50 和 p = 0.05
xP(X<= x)
10.279432
对于一些实际计算问题，用软件处理很方便快捷，希望以此能够引起人们的注意，在教学中积极应用软件计算。
【参考文献】
[1]沈恒范等编．概率论与数理统计教程(第4版)，高等教育出版社．2004，（11）.
[2]魏宗舒等编．概率论与数理统计教程，高等教育出版社．1983，（10）.
[3]茆诗松，程依明，濮晓龙编著．概率论与数理统计教程，高等教育出版社．2004，（０7）.
相关热词搜索： 解法 两道 探究 概率 统计
