内容摘要：本文从几何解析的角度重新解读了需求价格弹性与销售收益的关系，修正了一些教科书中关于需求价格弹性的论述，指出需求价格弹性的取值与收益之间的关系是有条件的，并据此作为商品定价与调价的依据，提出了几种判定不同商品的需求价格弹性的方法，以期为商场的价格决策提供科学的理论依据。
关键词：需求价格弹性 几何解析
商品价格 销售收益
商场的销售收益与商品的价格有直接关系，商品价格决策是商场经营的重要决策。价格决策涉及的因素很多，包括内部因素，如品种、质量、成本等；外部环境如市场供求、竞争状况、消费心理等。这众多因素可归结为一个经济数学上的名词—需求价格弹性。需求价格弹性是经济学上衡量价格变动与需求量变动关系的一个指标，指的是需求量的变动对价格变动反应的敏感程度。利用它可作为经营者对商品进行价格决策的科学依据，使经营者获取更大的销售收益。
本文从几何解析的角度重新解读了需求价格弹性与销售收益的关系，修正了一些教科书中关于需求价格弹性的论述，并据此作为商品定价与调价的依据，同时提出了几种判定不同商品的需求价格弹性的方法，为商场的价格决策提供科学的理论根据。
需求价格弹性的重新解读
（一）关于需求价格弹性的相关论述
现行很多“经济数学”、“经济学”的教材都利用需求价格弹性理论来分析价格和需求之间的关系，并据此制定商品的价格调整决策。如冯翠莲（2005）、高鸿业（1998）在研究中都有如下相似的结论：
当|Ed|＜1，即-1＜Ed＜时，因R＇（P）＞0，总收益递增，提高价格可使总收益增加，降低价格可使总收益减少，此时称需求是缺乏弹性的，即需求下降的幅度小于价格提高的幅度；当|Ed|＞1，即Ed＜-1时，因R＇（P）＜0，总收益递减，提高价格可使总收益减少，而降低价格可使总收益增加，此时称需求是富有弹性的，即需求下降的幅度大于价格提高的幅度；当|Ed|=1 ，即Ed=1时，因R＇（P）=0总收益是常数，提价或降价对总收益没有影响，此时称需求是单位弹性的，总收益不因价格的变动而变动。但是，这种论述是有偏差的，并不是恒成立的。
很多文献（如陈佩仪(2008)、方壮英(2010)的研究）也指出了这种错误，他们都用代数的方法证明了一些研究（如冯翠莲(2005)、高鸿业(1998)）的错误。代数方法看起来较为复杂和深奥，本文结合图形用几何解析的方法，简单明了地说明上述教材描述中的误差。
（二）需求曲线与需求价格弹性几何图形解析
由经济理论知，一般商品的需求函数Q=f（P） 是单调减少函数，由可知，需求弹性一般是负值，其经济含义是：在价格为P时，若价格提高或降低1%，需求由Q起减少或增加的百分数，它反映了产品需求量对价格变动反应的强烈程度（灵敏度）。为研究方便，本文将需求函数看作是线性的，记作：Q=f（P） ，如图1所示。
根据需求价格弹性的定义，可得：
（1）
当C点位于AB中点时，，代入（1）式得：Ed=-1；当C点位于AB中点以上时，， 代入（1）式得：Ed＞-1；当C点位于AB中点以下时，，代入（1）式得：-1＜Ed＜0。由此得出，同一线性需求曲线上不同点的需求价格弹性Ed是不同的。另有Ed=0与Ed=∞的特殊情况，如图2所示。
通常以需求价格弹性系数绝对值的大小可分成五种 ：若|Ed|＞1，被称为需求富有价格弹性，它表示需求量的变动率大于价格的变动率；若|Ed|＜1，被称为需求缺乏价格弹性，它表示需求量的变动率小于价格的变动率；若|Ed|=1，需求呈单一价格弹性，它表示需求量的变动率与价格的变动率相同；若|Ed|=0，需求无弹性，它表示价格无论怎样变动都不会引起需求量的变动，需求量固定不变（ΔＱ＝０）。这种商品的需求曲线为垂直线；若|Ed|=∞，需求具有完全弹性，它表示价格微小的变动会引起需求量巨大的变动，即在既定价格下（ΔＰ＝０）需求量可无限增加，这种商品的需求曲线为水平线。
严格来说，单位弹性、零弹性或弹性无穷大的情况只是一种理论上的假设，它只存在于一些特定的环境和条件中，并不常见。最常见的是富有弹性和缺乏弹性。
从几何解析角度对商品价格进行决策
（一）商品定价策略
1.当商品定价至需求曲线上的中点以下，即-1＜Ed＜0时。如图1所示，价格下降，销售收益R=PQ减少（矩形面积比原来减小），价格上升，销售收益先增加后减少（矩形面积比原来先增大后减小），从定价点提价至与中点对称点价格时，销售收益比原来是增加的，但提价至对称点价格以上后，销售收益比原来会减少。
2.当商品定价至需求曲线上的中点以上，即Ed＜-1时。价格上升，销售收益减少（矩形面积比原来减小）。价格下降，销售收益先增加后减少（矩形面积比原来先增大后减小），从定价点下降至与中点对称点价格时，销售收益比原来是增加的，但降到对称点价格以下后，销售收益比原来会减少。
3.当商品定价至需求曲线上的中点，即 Ed=-1时。由于需求曲线中点对应的总收益R=PQ（面积）最大，如果商品定价点刚好位于需求曲线中点，那么不管是价格上升还是价格下降，都会使销售收益减少。
由上述三种情况说明一些教材中的论述是有偏差的，并不是恒成立的。
（二）商品调价策略
1.若此类商品的需求缺乏弹性，则降低价格不会使利润增加。因为价格弹性小于１，意味着边际销售收入是负值，从销售收入增加的角度而言，说明少卖比多卖好，多卖反而使销售收入下降。因此，商品的定价点可先设在需求曲线中点以下，适时、适度地提升价格。
2.若此类商品的需求富有弹性，则要增加销售收入，就需要降价。降价的必然结果是销售数量增加，而销售量的增加，在一定条件下，可以使单位产品成本下降，因为资源配置随着产量的增大而改善，既增加了销售收入，又降低了单位成本，结果使利润增加。因此商品的定价点可先设在需求曲线中点以上，可适时、适度地降低价格。
3.若此类商品的需求有单位弹性，商品的定价点应设在需求曲线的中点，且尽量不调价（假定商品成本一直不变），使该类商品始终都具有最大的收益。当然，这种商品极为少见。
综上所述，如果商场提供的商品富有弹性，可以先定高价然后采取降价策略，因为较大幅度的销售收益的增加超过了因为价格下降所减少的收入，并且在一定的条件下弥补了因销量增加而增加的人力和库存成本。因此，商场要降价销售商品的话，就要避开缺乏弹性的商品，否则就决策失误了。
（三）特例：当需求函数Q=f（P）表现为价格的单调递增函数时
上述情况适用于需求函数是单调减少函数。特殊地，当需求函数Q=f（P）表现为价格的单调递增函数时，若此类商品价格上涨，需求量也随之上升；若价格下降，需求量也随之下降。比如某种稀有物品，价格越是上涨，消费者由于担心再涨价而抢购；而一旦价格下跌，消费者由于期望继续下跌而停止购买，导致销售量递减。还有一些炫耀性商品，如收藏的艺术品、名画、古董等，此类物品到底有没有实际使用效用，不得而知，但炫耀消费效用却显然是存在的。因此对于此类商品，应根据市场需求，提高一定幅度的价格，以刺激消费者的求购心理，增加销售量，进而增加利润。
判断不同商品的需求价格弹性大小
（一）当-1＜Ed＜0时，称为缺乏弹性
生活必需品由于不可缺少，需求程度大而稳定，人们不能因为粮食涨价而少吃，也不能因为看病贵而有病不去看；价钱便宜（占消费者收入比重小）的商品，如毛巾、香皂、火柴、针线之类的，由于价格小消费者就不太会注意到价格的变化；用途小的商品，如鞋油等。对此类商品，少量的价格变动不会引起需求急剧变动，被认为是缺乏弹性的。
（二）当Ed＜-1时，称为富有弹性
以下商品是富有弹性的：一是奢侈品，例如：黄金、汽车、航空旅游和专业服务等；二是某种商品有大量的替代品，市场竞争激烈，价格变化时，消费者容易改变消费行为，如百事可乐与可口可乐；三是用途广泛的商品，当价格提高时，能不用的就尽量不用；四是耐用程度高的商品、装饰品、鲜活易腐类商品等，少量的价格变动会引起需求急剧变动，被认为是富有弹性的。
（三）当|Ed|=0时，商品无弹性
此种商品价格的变化不会引起需求量的变化，如胰岛素，因为胰岛素这种药对于糖尿病人而言是至关重要的，他们不可能因为价格升高而不购买。其实，|Ed|=1， |Ed|=0，|Ed|=∞的情况都只是一种理论上的假设，它只存在于一些特定的环境和条件中，此类商品较为少见。
综上所述，在商品上市初期，可对商品进行弹性试验。如将某商品尝试提价或降价，在1个星期、1个月或更长时间内测试需求弹性与销售收益的关系。从而正确判定此类商品的需求价格弹性。只有在充分了解商品的需求价格弹性的情况下，进行科学、正确的定价或调价决策，才能使商场的销售收益增加。
美国《消费者需求》一书中摘取的一些商品需求弹性系数参考为：小麦为-0.08，报纸为-0.1，咖啡为-0.25，香烟为-0.3，土豆为-0.3，鞋类为-0.4，法律服务为-0.5，公共教育为-1.1，电视机为-1.2，电力为-1.2，汽车为-1.2至-1.5，冰箱为 -1.2至-1.6，航空旅行为-2.4，国外旅行为-4。
（四）需求价格弹性系数的求法及对市场的预测
例：设某参考书，书店在其第一版售价为15元时，销量为2万册，在第二版售价为18元时，销量为1万册，求该参考书的需求价格弹性系数？并据此，若第三版书店计划售价为22元，则书店进货量多少万册为合适？
解：需求价格弹性：
即该参考书的需求价格弹性系数为-2.5，当计划售价为22元时，书店进货量约为0.44万册为合适。
结论
商场经营者为实现利润的最大化就必须根据不同情形来制定科学的商品定价及调价策略，本文给出的需求价格弹性的几何解析，为商场经营者对商品进行科学的定价及调价的最佳调整量，提供了科学依据。必须强调的是，商场经营者为商品定价或调价时，一定要考虑到各类商品需求价格弹性的大小，才能更好地作出决策。但市场经济是复杂的，经营者应综合诸多外部制约因素，参考上述结论力求制定出正确、科学、切实可行的商品定价调价决策，获得持续的最大利润。
参考文献：
1.冯翠莲.新编经济数学基础[M]．北京大学出版社，2005
2.高鸿业.西方经济学[Ml.中国经济出版社，1998
3.陈佩仪.关于需求价格弹性与销售收益之间关系的思考[J].经济研究导刊，2008（9）
4.方壮英.对经济数学需求价格弹性与总收益关系的一点见解[J].科技信息，2010（3）
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