[摘 要]对概率论与数理统计课程的反例教学进行了例证研究， 详细探讨了反例教学在《概率论与数理统计》课程学习中的重要作用。
[关键词]反例 概率统计
[中图分类号] O211.1 [文献标识码] C [文章编号] 2095-3437（2013）04-0084-02
概率论与数理统计课程是高等学校数学专业和理工科专业的一门专业必修课，它有利于培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力以及运算能力，然而这门课程有些内容比较抽象， 其逻辑性相当严密，是多数学生学习数学比较难的课程之一。因此，如何帮助学生很好地掌握概率论与数理统计课程的基本概念、性质以及定理是教学的重要环节， 在实际教学过程中恰当的运用反例教学是解决这一问题比较有效的途径之一，它能纠正学生的错觉，加深学生对正确命题和概念的理解。统观目前概率论与数理统计课程教材，绝大多数都是以正面陈述为主体，本文拟从实际教学活动中如何运用反例教学进行例证研究。
一、 反例有助于学生对基本概念的理解
概率论课程由于其概念众多，并且有些概念不容易理解，造成学生在学习过程中很难准确地理解且掌握这些概念。但是对基本概念的正确理解是进一步思维的基础， 因此教师需要讲清楚概念的条件， 把握概念的实质，这将有助于学生理解此概念所产生的性质、命题、定理等。例如在讲解随机变量及其分布函数的概念时，我们知道两个随机变量的概率分布相同的充分必要条件是它们有相同的分布函数。由分布函数的概念知道：定义在给定的概率空间上的一个随机变量可以唯一确定一个分布函数。这时可以引导学生思考：一个分布函数是否可以唯一确定一个随机变量呢？即在一个给定的概率空间上是否存在两个不同的随机变量，它们有相同的分布函数？为了解释上述问题，可以举例如下：
例 1 设随机变量X服从标准正态分布，随机变量Y=X，那么Y与X是定义在同一个概率空间上的两个不同的随机变量，并且Y与X有相同的分布函数。
事实上，如果Y与X是定义在同一个概率空间上的两个相同的随机变量，那么P（=Y=）=1。然而由于随机变量X服从标准正态分布，所以P（=Y=）=P（X=-X）=P（X=0）=0，这产生了矛盾。因此，X与Y是定义在同一个概率空间上的两个不同的随机变量。
其次，由于X的概率密度函数为
所以，Y=-X的概率密度函数为
因此，X与Y有相同的分布函数。
二、 反例有助于学生在一定程度上防止对知识的负迁移
知识的迁移是一种学习对另一种学习的影响。在学习活动过程中，对任何新知识的学习都是学习者对自身已经拥有的知识经验和认知结构等基础上进行的。这种原有的知识结构对新知识学习的影响就形成了知识的迁移。教学成功的一个重要环节就是充分利用知识的迁移规律，实现知识的有效迁移。但是在实际教学中发现由于学生不能准确地掌握概念和原理，只注意知识的共同要素，忽视了他们之间的差异，因而造成了知识的负迁移。例如一维连续型随机变量X的分布函数为F（x），密度函数为f（x），那么在f（x）的连续点x0处，有F′（x0）=f（x0）。那么学习二维随机变量时， 学生比较容易产生不正确的知识迁移， 认为对二维连续型随机变量情形，相应的结论也成立，即设随机变量事实上，当x≤0或y≤0时，F （x，y）=0； 当0 三、 反例有助于诱导学生的创造力，培养学生思维的严密性 一般来说，构造反例是学生理解知识要点，辨析错误，进而培养学生创造力和思维能力的有力工具。然而构造反例和提出证明不同，它没有清晰可循的逻辑途径，它是一项比较积极的，创造性的思维活动过程，是一个探索发现的过程。在教学过程中如果能够合理的使用反例，引导学生构造反例，这将有利于培养学生思维的严密性，有效地提高教学效果。 定理 1 设T（X）是θ的充分统计量v=g（t）（或充分完全统计量），是单值可逆函数，则v=g（T）（是θ的充分统计量（或充分完全统计量）。 在教学中可以诱导学生思考是否任一充分统计量（或充分完全统计量）的函数也是充分统计量（或充分完全统计量）？可以举反例如下。 例4 设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），σ2已知。X=（X1，X，…，Xn）是来自X的独立同分布样本，则X是μ的充分统计量且为充分完全统计量，但是X2不是μ的充分统计量，因而X2不是μ的充分完全统计量。 与μ有关，所以X2不是μ的充分统计量，因而X2不是μ的充分完全统计量。 由于估计量作为样本的函数是一个随机变量，所以对不同的样本观察值，相应的估计量也可能不同。因此考察一个估计量的好坏就不能仅凭一次观察结果，而要从多次观察中统计量的取值分布情况来看，即由统计规律来判断，由此需要介绍无偏估计量。 定义1 设θ=θ（X1，…，Xn）是未知参数θ∈Ξ的估计量，如果对一切θ∈Ξ，Eθ（X1，…，Xn）=θ，则称θ是θ的一个无偏估计量。 此时可以反问：任何一个参数的无偏估计量一定存在吗？由矩法或最大似然估计法建立的估计量一定是无偏的吗？可以举例如下。 [ 参 考 文 献 ] [1] 陈俊雅，王秀英. 概率论与数理统计中的反例[M]. 天津：天津科学技术出版社，1992. [2] 张尚志 刘锦萼. 概率统计中的反例[M]. 湖南： 湖南科学技术出版社，1988. [3] 林穗华.浅谈反例在概率论教学中的作用[J]. 南宁师范高等专科学校学报， 2006，（1）： 122-123. [4] 张忠群. 概率统计教学中加强学生对反例的学习和运用[J]. 六盘水师范高等专科学校学报， 2007，（6）：43-45. [5] 王知人. 浅谈反例的教学功能[J]. 教学研究， 2000，（3）：278-279. [责任编辑：左 芸]
