摘 要： 概率论题是高考试题中抽象性最强、难度很大的题型。本文通过对2010年部分省市高考中概率论题的分析与解答，具体阐述了做数学概率论题应从“事件是什么？”分析，恰当应用互斥事件、独立事件性质解题。
关键词： 数学高考 概率论题型 案例分析
概率论题在高考试题中是抽象性最强、难度很大的题型，下面我从2010年我国各省的高考试题中选出部分概率论题进行分析，以飨读者。
1.第一类是选择填空题中的考题，分值只是5分、4分，难度深浅不一。
案例1：甲从正方形的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（?摇?摇）。（安徽卷第10题）
（A） （B） （C） （D）
解析：概率论题很多是与排列组合紧密相联系的，主要是研究“事件”。此题的大前提事件就是“四个顶点选两个连接成直线”，方法共有C=6种，甲乙各六种选法。所求概率事件是“甲乙各取一条相互垂直”，形成的组数有：一组邻边垂直，共8种选法；一组对角线垂直有2种选法，共10种。所以答案为：==，选C。
注：涉及立体几何中直线的位置关系，要清楚正方形或其它几何体的各对角线的位置关系，而且需全面。此题知识性和综合性强。
案例2：一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣质。国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P和P，则：（?摇?摇）。（江西卷第11题）
（A）P=P（B）P
（C）P>P（D）以上三种情况都有可能
解析：本题的具体事件为“10箱中各取一枚，发现至少一枚劣币”、“5箱中各取两枚，发现至少一枚劣币”。由于方法一和方法二都各取出了10枚币，“至少一枚劣币”意味着“1、2、3、4或5枚劣币”；所以它们的解法最好用对立事件的方法，即“所取出的10枚币中无劣币”；所以1-p=（），1-p=（）；而>，>.则有：1-p>1-p，有：p 注：采用找对立事件的方法求解，让学生明白“事件”的转化，会起到相称相托的影响，以方便解决问题。这类题在高考解答题中常考到，有利于学生的创新能力培养。 案例3：将5位自愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有?摇?摇?摇?摇种。（江西卷第14题） 解析：方法一：先把5位自愿者分成3组，共有=15种方法；然后把这三组分到三个不同场馆，共有A=6种；答案为：15×6=90。 方法二：先是这5人中选1人出来，有C=5种；再是剩下的4人选两人有C=6种；只要这1人的定了就算分到了世博会场馆，就有3种顺序，答案为：5×6×3=90。 案例4：某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天。若7位员工中的甲乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日。则不同的安排方案共有（?摇?摇）种。（重庆卷第9题） （A）504种 （B）960种 （C）1008种 （D）1108种 解：这道题有多种解法，第一法：①首先把甲乙的第一个安排在2→5号，然后这两个可互相交换，共有C×A=8种。②在甲乙分别安排在1、2号或6、7号时，共有4种，就有丙不可能在1号或丁不可能在7号了，此时先把丁或丙安排了，所受限制的即满足，共有C种；最后把剩下的4人安排，共有A=24种。③在甲乙第一个安排在2→5号时，可先把丙安排在除1号、7号及中间甲乙占的两天之外的三天之一有A种，再把丁安排在除7号及丙占位和甲乙占的两天之外的三天之一有A种，最后把剩下的3人安排有A=6种。④或者把丙安排在7号，此时丁就满足条件了，余下的4人安排有A=24种。所以答案为：C×A［AAA＋１×A］+4CA=4×2×［3×3×6+24］+4×4×24=1008种，选C。 第二种方法是求差法：首先甲乙第一个安排在1→6号，再交换，共有C×A=12种；剩下的人全排列，共有A=120种；下面得减去丙排在10月1日或丁排在10月7日的情况，①丙排在10月1日而丁不在10月7日的共有A×2×A+A×C×2×A×A=48+144=192种；②丙不在10月1日而丁在10月7日的共有192种；③丙排在10月1日丁在10月7日的共有A×2×A=48种。答案为:C×A×A-2×（A×2×A+A×C×2×A×A）-A×2×A=1440-384-48=1008种，选C。 注：排列组合类题是抽象性极大的题型。其解题方法一般有多种，如“分房问题，分堆与分给不同人的问题，插棒分组问题”等，在分类与分步中需精确找到各“小事件”的关系，进而确定计算中是用加減法还是用乘除法。 2.第二类为解答题，分值一般为12分，有一定的难度，主要原因是学生不明白所求问题的“事件”是什么，或者知道“事件”而无从入手。 案例5：有编号为A，A，…，A的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据： 其中直径在区间［1.48，1.52］内的零件为一等品。（天津卷第18题） （1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （2）从一等品零件中，随机抽取2个，求这2个零件直径相等的概率。 解：（1）因为直径在区间［1.48，1.52］内的零件为一等品，所以一等品的数量为6个，所取这一个零件为一等品的概率为：P===。 （2）由表中数据得一等品直径有：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.51共6个，因为“从6个中随机抽取2个”共有：C=15种，“两个零件直径相等”取法有：C+C=6种。 所以所求概率为：P===. 注：此题与统计学相联系，容易入手，在求解概率时难度较小。明白“零件为一等品”就是“直径在区间［1.48，1.52］内的零件”；更主要是培养学生的动手操作能力，建立起理论与实践相结合的真理观念；实际上人们在实践中还会发现更多的规律。 案例6：如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T，T，T，T，电流能通过T，T，T的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9。电流能否通过各元件相互独立。已知T，T，T中至少有一个能通过电流的概率为0.999。（全国卷第20题） （1）求p； （2）求电流能在M与N之间通过的概率。 解：（1）因为各元件相互独立，A=“T，T，T中至少有一个能通过电流”，所以=“T，T，T中都没能通过电流”，P（A）=0.999。 而T，T，T中每个没能通过电流的概率为：1-p。 所以P（A）=1-P（），即：0.999=1-（1-p），所以p=0.9。 （2）第一法：因为B=“电流能在M与N之间通过”=“电流通过T或电流通过TT或电流通过TT”，所以P（B）=0.9+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）×0.9=0.9891。 第二法：因为B=“电流能在M与N之间通过”，所以=“M与N之间没有电流通过”，他包含下列两类六种情况都没有导通：“T，TT，T，T或”，“”（其中T表示第i个灯导通，表示未导通），所以P（）=［P（T）+P（TT）+P（T）+P（T）+P（）］×P（）=［（1-0.9）×0.9+0.9×（1-0.9）+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）］×（1-0.9）=0.0109。 所以P（B）=1-P（）=1-0.0109=0.9891。 注：这是与物理中电学相关的概率类题，概率能解决人类的活动、自然知识和社会知识相关联的事件发生程度；让读者明白事件的可行性量度。此题第二问采用宏观或微观上分析“电流能在M与N之间通过”事件，通过分类分步、事件的互斥与独立性理论解析之。让读者一目了然、心悦诚服。 实际上概率类题穿插着互斥事件、独立事件等基础知识，解析之就是要把它们的抽象性具体化，也就是每个“事件”搞清楚，更重要的是数字化。
