摘要： 针对在混凝土非线性分析时所采用的宏观本构模型中，没有考虑混凝土软化阶段或考虑不当，以及在多轴受力情况下宏观模型不能很好地模拟混凝土受力状态的问题，基于微平面理论，利用MATLAB编写混凝土材料的非线性本构关系程序，从理论和计算结果两方面与经典的基于应力张量及其不变量的本构模型进行比较. 比较结果表明，在弹性变形阶段，经典理论模型和微平面模型计算结果与试验结果无明显区别；在非弹性变形阶段，经典理论模型与微平面模型有较大的差异，后者与试验结果吻合较好. 微平面理论在混凝土三向受力和软化阶段更能准确地描述混凝土材料本构关系，且本构关系更简单、清晰.
关键词： 混凝土； 非线性分析； 微平面； 本构关系； 动态约束
中图分类号： TU313 文献标志码： A
Comparison between microplane model and
classical concrete theoretical model
JU Jinxian, LU Hua, WANG Shuiping
(Naval Representative Office, Shanghai Power Station Auxiliary Equipment Works Co., Ltd., Shanghai 200090, China)
Abstract： As to the problems that the softening stage is not considered or considered unsuitable in nonlinear analysis of concrete by macroscopic constitutive model, and macroscopic constitutive model can not perform a good simulation on concrete stress states under multi-axial force-bearing situation, the nonlinear constitutive relationship program is fulfilled in MATLAB based on microplane theory. Then the theory and the computing results are compared with the classical constitutive model based on stress tensor and its invariant. The comparative results show that, there is no significant difference between the test results and the calculation results of classical theory model and the microplane model in elastic deformation stage; the difference is larger in non-elastic deformation stage, and the latter consists with the test results better. The constitutive relation of concrete material can be described more accurately in three direction force-bearing and softening stage, and the constitutive relation is more simple and clearer.
Key words： concrete; nonlinear analysis; microplane; constitutive relation; dynamic constraint
0 引 言
混凝土是土木工程中应用最多、也是最重要的建筑材料之一.近年来，混凝土结构非线性分析变得日益重要，而非线性分析结果的正确与否则依赖于描述混凝土非线性性能的本构关系和破坏准则.迄今为止，已有的本构模型基本上分为两类［1-3］：(1)宏观现象学模型，包括非线性弹性模型、弹塑性模型、损伤力学模型和内蕴时间模型等，其本构关系用宏观连续介质中应力、应变张量及其不变量表示；(2)微观力学模型，包括微平面模型和粒子模型等，其本构关系用微观上的应力、应变关系表示.前者是经典方法，在混凝土本构模型的发展中发挥过巨大作用，但其发展进入瓶颈阶段，随着工程要求的提高，经典模型很难满足工程精度的要求，因此许多学者将研究方向转向微观力学模型.
混凝土应力-应变全曲线反映混凝土基本力学特性，是研究钢筋混凝土结构强度和变形的主要依据之一，特别是应力-应变曲线的下降段(或称为软化段)，对构件的弹塑性全过程分析、极限状态下的截面应力分布、抗震结构的延性和恢复力特性等有较大影响.［1］目前，在混凝土结构非线性分析宏观本构模型中未考虑混凝土的软化阶段或考虑不当，同时，在多轴受力情况下也不能很好地模拟混凝土的受力状态.BAANT等［3-8］用微平面理论模拟混凝土的应力-应变全曲线，可以克服上述问题，并且该理论建立的微平面模型采用统一的公式描述应力-应变全曲线，具有概念简单、可变材料参数少等特点.
1 微平面模型简介
微平面指在宏观连续介质中任一点的无穷小领域内，垂直于任一方向的平面.微平面理论的实质是：任一点的宏观应力-应变关系是该点所有微平面上的应力-应变关系的叠加，描述微观结构不同方向平面上微裂缝的相互作用［4-5］.混凝土微观结构见图1，二十面体微平面模型见图2.
微平面理论的最初思想来自于Taylor，他建议多晶体金属的本构关系可以通过材料中不同平面上的应力-应变关系确定，在静约束或动约束下，宏观应力或应变张量等于所有平面上应力或应变矢量之和.1983年，BAANT等［4］首次将Taylor的思想用于混凝土等具有软化特征的脆性材料，并提出微平面模型.
由于混凝土等准脆性材料的非弹性性能是由微裂缝而不是由塑性滑移决定的，对混凝土引入动态约束(不同平面上的应变为宏观应变张量的投影分量)构造本构关系［4］，使得微平面模型可以比较容易地模拟软化问题.经过不断改进和发展，混凝土微平面本构模型演化出5代模型.
微平面理论的5个假设［3］基础为：
(1)任何微平面上的应变等于宏观应变张量εij的投影分量，表示动态约束；
(2)微平面既承受正应变εN，又承受剪切应变εTi，且εTi与σTi方向相同；
(3)每个微平面上的响应都与平均侧向应变有关；
(4)在不出现卸载的情况下，每个微平面的应力-应变关系与路径无关；
(5)在每个微平面上，体积应力与体积应变的关系σV～εV，偏应力与偏应变的关系σD～εD以及剪切应力与剪切应变的关系σT～εT互不耦合.
2 微平面模型与经典理论模型的理论比较 2.1 微平面模型本构关系与经典模型本构关系的异同根据假设(1)～(5)，微平面上的应力-应变关系［3］为： σV=CV(εV)εV
σD=CD(εD)εD
σT=CT(εT,σC)εT
（1） 式中：CV，CD和CT为弹性常数；CV(εV)表示CV是εV的函数；σC为宏观应力不变量，对剪切刚度有较大影响，其值的大小与第二、第三主应力值有关.由于微平面上的σV与εV，σD与εD和σT与εT互不耦合，而经典理论模型在非弹性阶段各应力-应变理论上相互耦合［2］，因此表达式相对复杂.
2.1.1 弹性阶段应力-应变关系
BAANT等［3,6-7］根据微平面上增量型应力-应变关系，在体积分量与偏量分量分离的情况下，应用虚功原理，令微观和宏观上的应力在各自对应的虚应变上所做的功相等，得到增量型体积分量同偏量分量分离的宏观应力-应变与微平面上应力-应变之间的联系，经过积分并与胡克定律相比较，最终得到各个微平面上的弹性常数 C0V=E(1－2ν)
C0D=C0T=E(1+ν)
（2） 式中：C0V，C0D和C0T表示弹性常数；E为弹性模量；G为剪切弹性模量；ν为泊松比.
上述理论推导说明，在弹性阶段微平面上的应力-应变关系与宏观理论模型一致，都是用弹性模量和泊松比表征应力-应变的关系（胡克定律），并且宏观表征的应力-应变关系相同.
2.1.2 非弹性阶段应力-应变关系
1996年，BAANT等［6］首先提出应力-应变边界的概念；文献［7］给出M4模型微平面上应力-应变边界，包括水平边界、正应力边界、体应力边界、偏应力边界和剪切应力边界等.
图 3 应力-应变边界的作用方式
Fig.3 Action mode of stress-strain boundary应力-应变边界的作用方式见图3.在边界内，将每个加载增量步看作是弹性的，但规定应力不能超出边界；只有当前应变增量与应力同为正值或同为负值时，加载才沿边界流动；否则，发生卸载.当应力达到边界时斜率急剧下降，但由于不同的微平面在不同时刻进入加载或卸载阶段，因此宏观响应连续.
宏观经典模型一般是在应力达到某一值时材料屈服，即为应力决定的屈服极限；而应力-应变边界的作用实际上可看作是应变决定的屈服极限，这种方法在经典的宏观塑性表述中很难实现.边界的表达式中牵涉到宏观应力-应变的许多分量，而在微平面上只会出现很少的几个应力、应变分量,因此，应力-应变边界简化为弹性阶段到软化破坏阶段的分析.
2.2 微平面模型和宏观经典模型的计算流程
微平面模型和经典模型的计算流程［6］见图4.
经典理论模型直接给定宏观应力和宏观应变之间的关系以建立材料的本构关系，而微平面模型需经过动态约束—微观应变—微观应力—虚功原理这个复杂过程，目的是解决宏观经典模型不能准确描述应变软化阶段的混凝土应力-应变关系的问题.微平面可以看作是骨料间的接触面，实际上为“薄弱面”，在充分考虑混凝土中裂缝的基础上模拟应变软化阶段的应力-应变关系.
2.3 微平面模型的优缺点
与经典的基于张量不变量的本构模型相比，微平面模型的优势［8］为:
(1)基于矢量而不是张量的本构关系，概念更清晰、简单，且在微平面上仅有少数的应力和应变分量，表达式相对于宏观本构模型简单得多.另外，微平面上的应力-应变关系只针对一个平面，不会发生旋转，因此微平面模型不像宏观模型那样必须满足张量不变性条件，而是在对所有微平面方向进行积分时自动满足.
(2)虽然每个微平面的应力-应变关系与路径无关，但是宏观应力-应变关系是所有微平面应力-应变关系的叠加.不同的宏观加载路径将导致微平面应力-应变关系的不同叠加，所以宏观应力-应变关系表现为与路径有关，且不同微平面上的加载过程和卸载过程进行组合，会产生复杂的路径相关性和多样性，该过程比宏观模型操作起来更方便.
(3)微平面模型采用应力-应变边界的概念，易于考虑当前的屈服极限与应变分量的相关性，而不用像宏观模型那样采用标量的硬化、软化参数.
(4)与张量式塑性本构模型相比，塑性微平面模型等价于大量同时活动的屈服曲面，且每个屈服曲面都有明确的形式.
微平面理论的缺点在于，大量的微平面和边界条件增加计算的负担，但随着计算机性能的不断提高，该缺点将得到解决.
3 经典理论模型与微平面模型计算结果 3.1 有限元模型
采用Marc分析混凝土在静水压力状态下的应力-应变关系.为便于分析计算，模型选取简单的长条形试件，几何尺寸为1 m×1 m×1 m，采用三维八节点实体单元，单元尺寸为0.25 m.
3.2 经典计算理论
(1)von Mises 理论［9］.破坏面在空间上表现为一个圆柱体，且与静水压力轴平行.
(2)Buyukozturk准则［10］.破坏面为 f=3J2+3βJ1+γJ21－2=0
（3） 式中：γ为固定值0.2；β一般取3；为等效应力；J1和J2为偏应力常量.
3.3 静水压力情况计算结果
3.3.1 经典理论计算结果
1973年，Green和Swanson进行混凝土在静水压力作用下的试验.［11］试验中，混凝土的弹性模量E=35 163 MPa，强度f ′ c=48.4 MPa.在Marc中取相同的弹性模量和强度值，得到计算结果与试验数据比较见图5.
3.3.2 微平面模型计算结果
用MATLAB编写二十面体微平面非线性本构关系程序，采用单向受拉和单向受压受力情况验证程序的正确性.对于单向拉伸情况，与Peterson的单向拉伸情况下混凝土应力-应变关系的试验数据［11］进行对比，见图6.
微平面模型中的参数k1是非常重要的自由参数，可通过改变其值来对应大多数不同强度的混凝土材料.以单向受拉情况为例，固定其他自由参数，通过改变k1的值分析随k1变化的应力-应变之间的变化规律，k1取不同值时对应的应力-应变曲线见图7.可知，k1值的改变基本不影响应力-应变曲线的形状，只是改变应力峰值的大小和应力峰值对应的应变值，对于根据不同的混凝土材料调整参数值进行计算非常有利.
对于单向受压情况，弹性模量E=32 173 MPa，与van Mier的单向压缩情况下混凝土的应力-应变关系试验数据［11］进行对比，见图8. 通过对单向受拉和单向受压情况的验证，初步证明微平面理论的正确性，并且可以看出微平面的本构关系可较准确地模拟混凝土的软化阶段.进一步给出静水压力下的微平面应力-应变关系，给定增量步的应变，分别给定轴向3个方向的应变，利用显式算法模拟静水压力下的载荷工况.给定自由参数k2=160，k3=10，k4=150，计算与试验数据相同弹性模量(E=35 163 MPa)的应力-应变关系，静水压力试验数据与微平面模型计算结果比较见图9.
3.3.3 结果分析
(1)对于弹性变形阶段，根据胡克定律，体应变与体应力关系为 σV=E1－2νεV
(4) 可知，经典理论模型与微平面模型计算结果和试验相同，无明显区别.
(2)对于非弹性变形阶段，经典理论模型与微平面理论模型有较大差异.
von Mises理论的屈服面沿静水压轴的方向是开口的，不存在帽盖；而静水压力加载是沿负静水压轴方向进行的，导致加载永远不会达到屈服面.所以，采用von Mises理论计算的结果表明，混凝土的反应始终处于线弹性阶段，应力-应变呈现线性关系；Buyukozturk准则的屈服面在子午面上的投影为 一个封闭椭圆，其与负静水压力轴的交点即为静水压力加载下的屈服载荷，因此当采用Buyukozturk准则时，计算结果表明混凝土在很小的静水压力作用下很快屈服破坏.由试验可知，混凝土在静水压力下，初始表现为线性反应，之后表现为非线性反应，因此上述两种情况都与试验数据不符，这也说明现有经典理论的问题.
微平面模型的计算结果显示，应力-应变的曲线明显分为两段：一段呈线性关系；另一段随着应变的增加呈非线性关系，且急剧上升，几乎呈现指数上升趋势，这个应力-应变的变化趋势与试验吻合得很好.从试验数据可知，混凝土在静水压力条件下可承受很大的作用力，计算结果也与该现象吻合得很好.另外，需要说明的是，应力-应变曲线的一些特殊拐点与材料的性能密切相关，对于不同的材料有不同的结果，需调节可变参数k1和弹性模量E，有时需要调整其他的可变参数来拟合实际情况.
总之，用二十面体模拟微平面模型得到的静水压力下应力-应变关系的变化趋势与试验值吻合得较好，更加具体的数值模拟则完全可以通过调节可变参数和不同材料弹性模量的值来实现.虽然调节参数的过程相对繁琐，但是完全可以得出与试验数据相符的结果.
4 结束语
与传统的宏观张量本构模型不同，微平面本构模型属于细观本构模型.传统的宏观本构模型采用宏观连续介质的应力、应变张量并用其不变量表示材料的本构关系，而细观本构模型通常采用一些合理的简化模型描述应力-应变关系.本文通过理论与计算结果的比较可知，微平面本构模型不但能较好地描述混凝土材料应变软化阶段和三向受力情况下的力学行为，而且不需要考虑张量不变量的限制(积分时自动满足)，并且微平面模型用不同方向微平面上少量的应力、应变分量之间简单的关系定义材料的本构特性，使建模更方便、概念更清晰，为微平面理论的工程应用提供参考.
参考文献：
［1］ 过镇海, 时旭东. 钢筋混凝土原理和分析［M］. 北京: 清华大学出版社, 2003: 5-37.
［2］ 张盛东. 混凝土本构理论研究进展与评述［J］. 南京建筑工程学院学报: 自然科学版, 2002(3): 44-53.
ZHANG Shengdong. State of arts on constitutive equations of concrete［J］. J Nanjing Architectural & Civil Eng Inst: Nat Sci, 2002(3): 44-53.
［3］ BAANT Z P, PRAT P C. Microplane model for brittle plastic material: I. Theory［J］. J Eng Mech, 1988, 114(10): 1689-1702.
［4］ BAANT Z P, OH B H. Microplane model for fracture analysis of concrete structures［C］//Proc Symp Interact NonNuclear Munitions Struct Colorado Springs, Colo, Air Force Academy, 1983: 4953.
［5］ BAANT Z P, OH B H. Microplane model for progressive fracture of concrete and rock［J］. J Eng Mech, 1985, 114(4): 559582.
［6］ BAANT Z P, XIANG Y, PRAT P C. Microplane model for concrete. I: stressstrain boundaries and finite strain［J］. J Eng Mech, 1996, 122(3): 245254.
［7］ BAANT Z P, CANER F C, ADLEY M A, et al. Microplane model M4 for concrete. I: formulation with workconjugate deviatoric stress［J］. J Eng Mech, 2000, 126(9): 944953.
［8］ BAANT Z P, CANER F C. Microplane model M5 with kinematic and static constraints for concrete fracture and anelasticity. I: theory［J］. J Eng Mech, 2005, 131(1): 3140.
［9］ 陈惠发, 萨里普A F. 混凝土和土的本构方程［M］. 余天庆, 译. 北京: 中国建筑工业出版社, 2004: 2325.
［10］ BUYUKOZTURK O. Nonlinear analysis of reinforced concrete structures［J］. Computers & Structures, 1977(7): 149156.
［11］ CANER F C. Computational modeling of damage and fracture in concrete［D］. Evanston: Northwestern Univ, 2000.
(编辑 陈锋杰)
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