基于时—频包线的非平稳地震动合成及其对结构非线性响应的影响

方案，得到了满足相同目标谱的4组加速度时程，结果分析表明，（1）本文建立的地震动拟合方法，能够很好地保留原始地震动的非平稳特性和持续时间，且拟合精度较高；（2）基于实际地震动提取的时-频包线函数，能够较好地模拟地震动频率的非平稳特性；（3）基于统计参数定义的时-频包线函数能够近似模拟地震动频率非平稳特性，与真实地震动频率随时间的变化规律符合较好。以这4组地震加速度时程作为输入，分别对层数为7层和15层的规则钢筋混凝土框架结构进行三维非线性时程分析，结果表明，采用仅考虑强度非平稳特性的地震输入，存在低估规则钢筋混凝土结构非线性响应的风险，因此在人工合成地震动中应该考虑其频率的非平稳特性，合理估计结构的非线性响应，保证结构设计的安全性。

关键词： 随机振动； 地震动； 结构非线性响应； 频率非平稳特性； 地震动合成

中图分类号： O324； TU311.3文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）02-0198-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.002

引 言

实际地震动是一个非平稳的随机过程。工程中常用的强度包线函数，能够反映地震动强度的非平稳过程，即认为地震动经历一定长度的上升时间段，达到某一强度并保持平稳持续一段时间，然后再缓慢衰减至地震动结束[1]。但强度包线并不能反映实际地震记录中频率随时间变化的特性，即地震动的频率非平稳特性[2]。从结构响应的角度看，地震动的非平稳特性可以理解成地震动能量在频率和时间上的不均匀分布。不少研究表明，地震动的能量如果在频率和时间上分布相对集中，那么它要比能量分布相对均匀的地震动对结构产生更为严重的破坏[3]。因此地震动频率含量变化对结构的影响，特别是对结构非线性时程分析结果将产生不可忽视的影响[4-5]。分析近年来的研究成果，主要分为两类，一类研究结果认为，结构进入非线性状态时，结构频率有降低的趋势，实际地震动在持时后半段低频分量较为丰富，则结构会因共振而产生更大的响应[6-7]，影响程度则与频率的非平稳程度有关[8]；另一类研究结果则认为，结构的最大反应通常发生在强震阶段，而非地震动的后期，由于地震动后期幅值变小很多，即使低频分量变得更显著也不会引起更大的响应[9]。地震动频率的非平稳特性究竟对结构响应有多大的影响，学者们并没有得出明确的结论。

因此，本文的研究目的主要有两个，一是引入具有统计参数的时-频包线函数，近似模擬地震动频率非平稳特性，建立能够反映地震动频率非平稳特性的拟合方法，为结构地震响应分析提供合理的输入；二是通过采用不同的拟合方法，控制地震输入的频谱特性，分析地震动非平稳特性对结构非线性响应的影响。结果分析表明，本文建立的频率非平稳地震动的拟合方法能够近似反映地震动的非平稳特性；地震动频率非平稳特性对规则钢筋混凝土结构的非线性响应有不可忽视的影响，仅考虑地震动的强度非平稳特性，存在低估规则钢筋混凝土结构非线性响应的风险。因此，在实际工程应用中，为了合理估计结构的非线性响应，保证结构设计的安全性，不应忽视地震动的频率非平稳特性。

1 基于时-频包线函数的地震动合成方法1.1 非平稳地震动合成的基本公式

为了能够反映地震动频率的非平稳变化，本文采用以下随机过程模型[10]，即y（t）=∫∞-∞B（t，ω）eiωtdF（ω）（1）式中 i=-1，B（t，ω）是一个确定的时-频调制函数，表示了一个地震过程绝对幅值的包络。若将B（t，ω）换成工程中常用的仅依赖于时间变化的强度包线函数[11-12]，则式（1）就仅能考虑地震动强度非平稳特性。dF（ω）表示一个零均值，相互独立的正交过程：E[dF（ω）]=0（2）

E[dF*（ω1）dF（ω2）]=δ（ω1-ω2）S（ω1）dω1dω2（3）式中 E[·]表示总体的平均值，δ（·）为狄拉克δ函数，*表示复共轭，S（ω）为dF（ω）的功率谱密度函数。

在地震工程中，时频调制函数只有当它是实数、非负的时候才有意义，即B（t，ω）∈R， B（t，ω）≥0（4） 假设，对于给定的ωk，B（t，ω）有max[B（t，ωk）]=1（5）B（t，ωk）仅确定的是相应于频率ωk的包络线的形状，而ωk处地震动的幅值则由功率谱密度函数S（ωk）来决定。因此，根据式（1），采用三角级数法生成人工地震动时程，即y（t）=∑nk=1B（t，ωk）2S（ωk）Δωcos（ωkt+k）（6）式中 Δω为频率的增量，ωk为离散的频率，k为[0，2π]间均匀分布的随机相位。

很明显，如果根据实际工程需要能够合理地估计对应于不同频率ωk的时频包线函数B（t，ωk），式（6）的计算就会很简单。

1.2 具有统计参数的时-频包线函数B（t，ω）

近年来，能够从时域和频域联合描述地震动强度和频率非平稳特性的瞬时谱得到了发展[13-14]。瞬时谱具有时间和频率分辨能力，能更准确地反映地震动非平稳特性，但是由于对时间和频率的二元函数描述过于复杂，且影响模型参数的因素较多、统计性较差，使瞬时谱无法直接用于工程实践。文献[15]提出了用主频率Fp来近似模拟地震动频率随时间的变化。Fp表示在一系列采样时间点上，对应于时频谱最大幅值的频率值（如图1所示），文献[15]基于对NGA数据库中10545条加速度记录的时-频分析，给出了不同震级、震中距及场地条件下计算Fp的统计参数，非常方便工程应用。主频率计算公式[15]Fp（t）=f0+pe-stsin（ωt）（7） 第2期曲国岩，等： 基于时-频包线的非平稳地震动合成及其对结构非线性响应的影响振 动 工 程 学 报第31卷 式中 Fp表示的是在一系列采样时间点上（t1，t2，…，tn），对应于小波谱的最大幅值的频率值，即主频率；参数f0，p，s，ω具有统计意义，决定了主频率时变曲线的形状。