《材料力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法

[摘 要]在《材料力学》中，绘制平面弯曲梁的剪力图和弯矩图是“直梁的弯曲”一章中的重点和难点，传统的规律绘图法用到的一次函数、 二次函数和导数等相关知识，对于数学基础不很扎实的中专生来说是很难理解的。本文中作者利用几何图形的面积来绘制剪力图和弯矩图，其方法更为简便快捷。

[关键词]剪力图 弯矩图 面积

在《材料力学》中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图（即把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来）以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置。目前绘制剪力图和弯矩图最常用的规律绘图法中用到一次函数、 二次函数和导数等相关知识，这对于数学基础不很扎实的中专生来说是很难理解的。通过教学，作者在原有绘图方法的基础上，利用几何图形的面积代替一次函数、 二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广大同仁参考。具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图——剪力图（直角坐标系）——弯矩图（直角坐标系），其图象遵循“平行线——斜直线——抛物线”的顺序，其剪力和弯矩的变化值等于对应的上一个几何图形的面积，其它事宜与原方法同。

例：一外伸梁受力如图a)所示，已知P=6kN， q=2kN/m，a=1m，绘出梁的剪力图和弯矩图。

解：（1）求支座反力NA和MA

选整个梁为研究对象，由平衡方程求得NA= 10kN，MA= 18kN.m。

（2）绘制剪力图

A点作用有向上的集中载荷NA和逆时针转向的集中力偶MA，因集中力偶对剪力图没有影响，故剪力图只在集中力NA的作用下从零值向上突变10 kN；A、B点之间的剪力图为平行于x轴的直线；B点作用有向下的集中力P，剪力图向下突变P=6kN，变为4 kN；B、C之间的剪力图为平行于x轴的直线；CD段作用有向下的均布载荷q=2kN/m，所以剪力图为从4 kN开始向下倾斜的直线，因此D点剪力值为4 kN -4 kN=0，如图b）所示。

（3）绘制弯矩图

A点作用有逆时针转向的集中力偶MA= 18kN.m，故从A点零开始，向下突变18 kN.m，AB段剪力图为位于x轴上方且平行于x轴的直线，因此其弯矩图为向上倾斜的直线，AB段弯矩的变化值为对应的剪力图围成的矩形的面积，即10kN×1 m =-10 kN.m，因此B点弯矩值为-18kN .m +10 kN.m =-8 kN.m；BC段剪力图为位于x轴上方且平行于x轴的直线，因此其弯矩图为向上倾斜的斜直线，BC段弯矩的变化值为对应剪力图所围成的矩形的面积，即4kN×1 m =-4 kN.m，因此C点弯矩值为-8kN .m +4kN.m =--4 kN.m；CD段剪力图为向下倾斜的直线，因此其弯矩图为开口向下的抛物线，CD段弯矩的变化值为对应剪力图所围成的三角形的面积，即4kN×2 m/2 =-4 kN.m，因此D点弯矩值为-4kN .m +4kN.m =0kN.m，如图c）所示。

（4）检验

剪力图和弯矩图均从零开始，最终回到零点，可认为是正确的。

参考文献

[1]王亚双.工程力学[M].北京：中国计量出版社，2006.

[2]张二红，张华龙.小议《工程力学》中剪力图和弯矩图的规律绘图法[J].河北机电教育，2003（1）.