以DFT为例探讨数字信号处理教学方法

摘要：数字信号处理是一门重要的专业基础课程。根据课程的特点和教学中存在的问题，提出相应的解决方法，即强调教学内容的意义，形象化教学，循序渐进，注重实际应用。教学实践表明，这些方法是必要而有效的。

关键词：数字信号处理；形象化教学；教学方法；离散傅立叶变换（DFT）

作者简介：陈强（1972-），男，浙江宁波人，合肥工业大学医学工程学院，讲师；徐科军（1956-），男，江苏无锡人，合肥工业大学电气与自动化工程学院，教授。（安徽　合肥　230009）

基金项目：本文系“信号检测、处理及实现”系列课程安徽省省级教学团队资助的研究成果。

中图分类号：G642.0     文献标识码：A     文章编号：1007-0079（2012）32-0049-02

随着信息和微电子等学科的飞速发展，数字信号处理的理论得到了飞速发展，在科学研究和工程实践中的应用也日益广泛。[1，2]目前开设数字信号处理课程的专业已经从电子信息类扩展到自动化、电气工程、仪器仪表、机械制造和生物医学工程等，开设对象也由研究生逐渐扩展到本科生。[2]数字信号处理领域得益于其理论、应用和实现之间的紧密结合，[3]是一门既有理论又面向实际的课程。然而，数字信号处理是建立在数学基础上的学科，大量的理论和结论是通过数学推导方式得到的，学生容易纠缠于公式的推导和证明而不理解其实质。[3]离散傅立叶变换（DFT）是数字信号处理中的核心内容之一。下面以DFT的教学为例，探讨在当前学时数减少的情况下，如何采取适当的教学方法在有限的时间内取得更好的教学效果。

一、强调教学内容的意义

在讲授内容前就简要说明其理论与应用价值及其在课程体系中的地位，可以引起学生的重视，提高学习的积极性。例如，讲授DFT之前可以从信号描述和系统分析的角度强调傅立叶变换的重要意义。图1（a）所示的周期信号从时域难以描述；而从频域的角度看，它是由500Hz、1000Hz和2000Hz三个正弦成分组成，频域的表达简单而明确。对于线性时不变（LSI）系统，输出信号的每一个频率成分都存在于输入信号中，只是经过系统后各自的幅度和相位发生了变化。用输出信号和输入信号的傅立叶变换的比值就可以从频域描述LSI系统的性质，即所谓系统的频率响应。使用傅立叶变换将问题从时域表述转换到频域表述，是“从另一个角度，用另一种语言”更有效地描述和分析问题。

二、形象化教学

数字信号处理课程涉及大量的数学，但是，在教学过程中，应避免陷入数学推导，而是要注重形象化教学，不断强调公式的物理含意。教学可以分为以下步骤：建立形象化的物理概念，定性分析；进入数学推导的定量描述阶段；解释并强调公式的物理含义。当然在实际教学中三个步骤是穿插进行的。形象化教学的目的是在思维中建立理论的直观概念。

建立DFT的形象概念。在复习连续非周期信号的傅立叶变换（FT）的基础上引入离散时间傅立叶变换（DTFT）和离散傅立叶级数（DFS）。先从FT出发，将信号时域采样，使公式中的积分转化为求和，FT转化为DTFT。DTFT的特点是时域离散非周期而频域连续周期，通过与FS（时域连续周期、频域离散非周期）和FT（时域连续非周期、频域连续非周期）的联系比较，建立傅立叶变换中时域和频域“离散对应周期、连续对应非周期”的概念，引导学生得出推论：如果信号离散且周期，则傅立叶变换后频域上离散且周期。之后再进行数学推导，得到离散傅立叶级数（DFS）的公式。再说明DFS的时域和频域都是无限长，不符合计算机分析的要求，但是，由于时域和频域的求和都在一个周期内完成，因此，在时域和频域上各取一个周期就形成了DFT。如果DFS讲解清楚，DFT的概念还是比较好接受的。同时向学生强调“DFT不是第五种傅立叶变换，只是DFS的变形”。最后用图2将FT、DTFT、DFS和DFT的关系形象化地加以总结。[1]

三、循序渐进

教学中应注意课程内容的循序渐进，尽可能讲出知识点的来龙去脉。这样讲授看似花费了一些时间，但是学生更易于理解和接受，教学效果更好。

以循环卷积为例，这是DFT特有的新内容。部分教科书可能限于篇幅直接给出其定义式，似乎循环卷积只是一种人为定义的运算，不免感觉有些突兀。如果给出循环卷积的来龙去脉，学生接受起来会更为自然。可以从频域出发设两个周期离散序列和的DFS分别是和，显然和也是周期的，则它们的乘积必然周期，对做IDFS，其对应的序列也是周期的。之后通过数学推导得到DFS中的周期卷积公式。最后再讲授DFT中的循环卷积。[3，6]

对于整门课程也是如此，尽管学生已经在“信号与系统”中学习过离散信号和系统方面的内容，但掌握程度不一且有自然遗忘，基础知识不牢固必然影响对新内容的理解。因此，还是有必要复习，以更自然地引入本课程内容。[5]

循序渐进是重视内容上的逻辑关系而非只是内容的前后顺序。例如窗函数的内容一般放在FIR滤波器部分，但讲授频谱泄漏时可以指出采用不同的数据截短方法以减少旁瓣的影响，之后在讲解窗函数内容的时候再回头讲授其在谱分析的作用，使教学内容融会贯通。

四、注重实际应用

对于绝大多数数字信号处理课程的学习者，应用才是根本目的。大多数人在工作中是采用现成的程序包或者工具软件。在这样的情况下，一般并不需要知道实现某一运算的算法细节，但是第一要清楚计算的是什么，第二要清楚如何解释计算结果，这才是主要的。[3]

以DFT为例，算法已经很成熟，自己编写程序的机会其实很少。而实际应用DFT时可能出现的问题，如频谱泄漏和频谱分辨率问题，虽然在教材中占的篇幅不大，但是，只有真正理解才能正确使用工具软件和解释所获得的结果。

频谱泄漏和频率分辨率是实际工作中使用DFT谱分析时常遇到的问题。解释这两个概念适合用图形化的说明方式。如图 3所示，单根谱线与sinc函数卷积后呈现sinc函数样，而有限带宽信号频谱与sinc函数卷积后，频带内的能量“泄漏”到邻近范围。再如图4所示，窗函数的主瓣使信号频谱中的每一条谱线都展宽成为有一定宽度的谱峰，若两个谱峰间距过小则谱峰融合，被认为是单一频率成分，导致频率分辨率降低。

教学时必须反复强调：可以通过选择合适的窗函数和窗函数的位置来减少频谱泄漏；频率分辨率只与信号实际长度成反比，与采样率无关；信号补零可以改善频谱的观察效果，但是，不能真正提高频率分辨率。要强调结论的物理意义和实际应用，对于工科学生来说，理解结论和学会应用比能够推导更重要。[3]

在教学过程中充分利用实践教学，除了通过随课实验验证理论，还可以让学生课后自己编程进行信号处理实验，例如录制自己说话的声音，然后进行谱分析、滤波等操作。教学实践表明，尽快将理论应用于实践能够极大提高学生的学习兴趣，达到最佳的教学效果。

五、总结

作为一门重要的专业基础课程，“数字信号处理”既有很强的理论性又有很强的实际背景，学生感觉难学，教师感觉难教。为此，根据课程的特点和以往教学中存在的问题在教学中注意从以下方面改进：强调教学内容的意义，引起学生的重视；形象化教学，在学生头脑中建立理论的直观概念，避免陷于数学推导；循序渐进，注重教学内容的逻辑性，使学生容易接受；注重实际应用，要求学生理论联系实际，提高学习的积极性和主动性。

教学实践表明，采用以上的教学方法，学生的学习积极性和主动性得到了提高。当然，以上的方法并不能涵盖教学的方方面面。例如，形象化教学并不能代替严密的数学推导和必要的课后练习，其目的是尽快地建立理论的物理概念，使学生真正入门。我们将继续探索如何更合理地安排教学内容，采用适当的教学方法，以达到最佳的教学效果。

参考文献：

[1]胡广书.数字信号处理导论[M].北京：清华大学出版社，2005.

[2]徐科军.信号分析与处理[M].北京：清华大学出版社，2006.

[3]A.V.奥本海姆，R.W.谢弗，J.R.巴克.离散时间信号处理[M].刘树棠，黄建国，译.第2版.西安：西安交通大学出版社，2001.

[4]李力利.数字信号处理”教学过程中的探索与体会[J].电气电子教学学报，2003，25（2）：62-64.

[5]刘洪盛，朱学勇，彭启琮.“数字信号处理”和“信号与系统”两课重叠内容的处理方法探讨[J].电气电子教学学报，2004，26（6）：40-42.

[6]王世一.数字信号处理（修订版）[M].北京：北京理工大学出版社，

1997.

（责任编辑：王祝萍）