摘要：量子力学中的表象变换是一个重要问题，它的研究不仅对于深入理解量子力学的基本观点至关重要，而且对于如何利用量子力学观点处理具体问题也非常重要。本文利用牛顿力学中坐标系的观点，解释量子力学中为什么要引入表象变换的概念它和坐标变换的相同点和不同点。
关键词：表象变换；参照系；坐标变换
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）44-0183-04
一、前言
量子力学是近代物理的两大支柱之一，它的建立是20世纪划时代的成就之一，可以毫不夸张的说没有量子力学的建立，就没有人类的现代物质文明[1，2]。量子力学在近代物理中的地位如此之重，成为物理本科专业学生最重要的课程之一，也是大多数学校招考物理专业研究生的必考科目之一。但在实际教学过程中，学生普遍感到量子力学难学，其抽象的思维方式和学生长期受到的牛顿力学思维方式格格不入，造成学生无所适从。在笔者几年的教学活动中，尤其在讲授“表象变换”一节时，学生更是感到无从着手、难于理解，所以笔者认为有必要对表象变换的教学方法进行研讨。
笔者认为量子力学的难，主要在于以下几点。
1.量子力学中的能量、动量、角动量量子化问题，相对于经典力学有很大不同。例如电子从一条经典轨道瞬时跃迁到另一条经典轨道，按牛顿力学来说完全无法解释。
2.微观粒子的波粒二象性，带来很多新的物理现象，例如隧道效应、纠缠态等，也是经典物理无法想象的事情。经典物理中的决定论演化成了量子力学基金中的概率论。
3.态叠加原理，几种量子态共存，很好地反映了微观粒子的波动—粒子两象性的特点，而与经典粒子运动状态用每一时刻的坐标和动量描述有根本的区别，造成薛定谔猫的悖论，于是有了量子力学中的猫非死非活的状态与宏观世界的矛盾。
针对以上的难点，我们要以正确的态度看待量子力学，众所周知，经典力学规律很接近我们的现实生活，很容易被我们接受，且被证实是相当正确的，而量子力学给我们的印象只适用于微观世界，其实不然，它不仅适用于微观世界也同样支配着宏观世界，所以我们要以物理的角度理解量子力学。物理专业的学生经过几年经典物理的熏陶，思想上已经认可了经典物理的基本观点，而量子力学推翻了部分经典力学的观点，让学生不知道哪种观点才是正确的。本文从大家熟知的牛顿力学中坐标变换的方法出发，讲述量子力学中的表象变换问题，力图为学生揭开表象变换的神秘面纱，才能让学生更容易从经典力学思维转换到量子力学的思维模式。
量子力学中的表象就是用物理量的概率分布表示微观体系中的状态，它可以类比经典力学中的坐标，同样其表象变换和经典力学的坐标变换有一定的相似度，所以接下来，先从牛顿力学中的坐标变换深入态叠加原理及表象变换，就可以使学者更易理解量子力学。
二、牛顿力学中的坐标变换
为了描述三维空间中一个质点的运动，我们常采用直角坐标系的方法。标记为A（x，y，z，t），也可写为矢量的形式。
■（t）■=x（t）■+y（t）■+z（t）■ （1）
这里■，■，■分别为X、Y、Z三个方向的单位矢量（坐标基矢），都满足归一化条件：■·■=1，■·■=1，■·■=1。而x（t）、y（t）、z（t）分别是三个方向的分量大小。式（1）表明，任何一个质点的复杂运动都可以分解为三个简单的一维运动，这是牛顿力学中的运动叠加原理。而这三个方向的选取并不是任意的，而是要求两两正交，相互独立，即：■·■=0，■·■=0，■·■=0，这样如果质点在■方向上运动发生变化，不会改变■和■方向的运动状态。另外对于空间任意一点都可以表示成公式（1）的形式，说明三个坐标基矢是完备的。采用这样的正交归一完备的坐标系后，对于三维牛顿力学的求解大为简化，以此引出速度的合成分解、力的合成分解等方法。
如果这个质点在一球壳上运动，那么采用球坐标计算比较简单，质点的位置可记作（r，θ，φ），其运动方程可写为：■（t）=a■（t）■+a■（t）■+a■（t）■，当然这里的三个单位矢量■，■，■也为两两正交，相互独立，组成完备体系。如果一个质点做圆周运动，坐标矢量可简写为r（t）=θ（t），经过位移和角位移的变换，速度和角速度的变换，加速度和角加速度的变换后，直线运动的公式完全转化为圆周运动的公式，可见经过简单的坐标变换，原本非常复杂的圆周运动和一维直线运动本质上得到了统一。
直角坐标系和球坐标系之间的转换关系如公式（2）所示，相应的两组坐标系的基矢之间总可以写成下列形式的关系。
x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθ？圯■=x■■+x■■+x■■■=y■■+y■■+y■■■=z■■+z■■+z■■ （2）
由公式（2）我们可以得到同一位置矢量r（x，y，z）或r（r（r，θ，φ）在不同的坐标系中坐标转换公式（3），也就是说我们只要求得了坐标变换矩阵S，就很容易在不同坐标系中任意变换。
x（t）y（t）z（t）=x■x■x■y■y■y■z■z■z■r（t）θ（t）φ（t）？圯
r（x，y，z）=Sr（r，θ，φ） （3）
由上述分析我们可以知道，针对不同的问题，采用合适的坐标系可以使问题的处理大大简化，复杂的二维、三维问题可以当作一维问题处理。为此我们创造了各种的坐标系，例如直角坐标系、球坐标、柱坐标、极坐标等。而坐标系的选取最重要的原则是每个坐标的单位矢量两两正交，相互独立，组成完备系统。
三、态叠加原理
态叠加原理是量子力学中最重要的观点，表述如下：如果Ψ■和Ψ■都是量子体系的可能状态，那么它们的线性叠加Ψ=c■ψ■+c■ψ■也是体系的一个可能状态，推广到更一般的情况态可以表示为许多态的线性叠加[3，4]：
Ψ=c■ψ■+c■ψ■+…+c■ψ■=■c■ψ■ （4）
态叠加原理的本质是由微观物质的波粒二象性所带来的。
对照前一节表述和公式（1），我们可以给出态叠加的一种解释：任何一个复杂运动可以分解为三个简单的一维运动的线性叠加；相应的任何一个复杂的量子态，可以分解为若干个相对简单状态的线性叠加。这里ψ■表示这一系列简单的状态（基矢）。但态叠加原理中并没有对基矢做出限制，例如要求基矢间两两正交，这样一种简单状态（ψ■）发生了改变，其他相关状态前的系数也要相应改变。说明这不是一个好的坐标系，不是一组好的坐标基矢。我们需要在这个问题上进一步深入研究。
■ψ■=λ■ψ■？摇 （5）
量子力学基本假设指出，力学量算符的本征函数组成正交完备系。而任意量子状态可以由这组正交完备系线性展开。这说明以力学量的本征函数系作为基矢是一组好的坐标系，坐标系的基矢之间两两正交、相互独立。量子态用力学量算符的本征函数线性展开还有更深刻的物理含义。对照第二节内容，我们可以这样理解：在一个选定的坐标系条件下（例如选定坐标基矢为动量的本征函数系），一个质点运动是由三方向运动组合而成，相应的一个量子态是由各种不同动量的状态组合而成，这里的每条坐标轴基矢代表不同的动量取值。根据波函数的统计解释，每次观测这个量子态，都只能测量到它的某一个可能值，所以每次观测值不一定相同；但是量子态投影到各个方向上的分量大小不同，分量大的观测到的几率就大，所以有了量子力学的又一个假设：结合（4）、（5）式，在Ψ态中测量力学量F得到结果为λ■的几率为c■■。
对应于牛顿力学中的坐标体系，矢量■在各个坐标轴上的投影分别为x=■·■，y=■·■，z=■·■，x，y，z分别表示矢量r在各个方向上所占的比重，比重越大这个矢量方向越偏向那根坐标轴。
这里需要注意一点：一个量子态并不是已经按照给定的坐标系分布好了，等着我们测量，而是我们人为对测量结果的一种预期。前面表述只是为了理解上的方便。
四、表象变换
前节所述每个力学量算符的本征函数都组成正交完备系，都构成一组好的坐标系。这样我们就有了无数种的坐标系可供选择，在解决具体的量子力学问题中，究竟应该选择什么样的坐标系才能使问题最简化？前面牛顿力学中的坐标变换已经给出了好的答案，按照所求问题的形状、运动轨迹等选取坐标系；所以在量子力学中，我们应该按照所求问题的物理量确定坐标系，例如我们要观测一个量子态的动量，那就应该选取动量的本征函数系作为基矢，展开该量子态，这样每次的测量值、测量值出现的几率大小、测量的平均值等结果一目了然[5]。
一般描述量子态都习惯用坐标表象，由前面分析得知，对于具体的问题，我们需要将坐标表象转换到相应的表象。这样自然出现了表象变换，可以看出表象变换也就是坐标变换。
假设有F和G两个力学量算符它们的本征值方程分别为。
■ψ■=F■ψ■ ■φ■=G■φ■？摇 （5）
ψ■，φ■分别构成完备的坐标基矢，任意的波函数Ψ可在不同表象中展开。
F表象中：Ψ=c■ψ■+c■ψ■+…+c■ψ■=■c■ψ■，其中ψ■为F表象基矢。
G表象中：Ψ=b■φ■+b■φ■+…+b■φ■=■b■φ■，其中φ■为G表象基矢。
上面两种表象表示的是同一量子态，只是选取的坐标系不同，而且坐标系之间可以相互转化。由前面的（1）（2）两式可以知道。
ψ■=a■φ■+a■φ■+…+a■φ■
ψ■=a■φ■+a■φ■+…+a■φ■
ψ■=a■φ■+a■φ■+…+a■φ■？摇 （6）
即坐标表象中的每个基矢都可以由G表象中的基矢展开。它的物理含义是，ψ■量子态下每次测量坐标的值都为F■，而这种状态下测量力学量G的值时，不一定有确定的值，可能测量结果为G、G■、G■…，其中隐含着测不准关系。本来在坐标表象下ψ■的状态非常简单，可比作一维运动，而变到了G表象中，状态就非常复杂了，变成了多维运动。同样观测G力学量时，G表象就非常简单。这就好比圆周运动用角描述非常简单，而用直角坐标描述非常复杂一样。
由（6）式我们可以得到两表象变换的幺正矩阵
S=a■ a■ a■a■ a■ a■a■ a■ a■
幺正变换矩阵的物理含义也非常清楚了，就是一组坐标系基矢，在另一组坐标系基矢上的投影。有了幺正变换矩阵后，就很容易将一组坐标系变换为另一组坐标系：
c■c■c■=a■ a■ a■a■ a■ a■a■ a■ a■b■b■b■
五、小结
本文通过与牛顿力学中的坐标变换相对比的方法，阐述了量子力学中表象变换的基本原理和物理意义。人类认识世界和改造世界向来都是从简单到复杂，在牛顿力学中，我们通过运动的分解和坐标系的变换，将复杂的机械运动编程简单的一维运动，使求解的难度大为降低。而量子力学中同样遵从了这样的原理，表象变换的主要目的之一，就是化繁为简，对于具体的量子力学问题采用合适的参照系（坐标系），使该问题大大简化，便于求解。但表象变换和坐标变换虽有很多相同点，也有一些不同点，在具体运用时应有所区别，而在学习的时候可以将表象变换类比于坐标变换进行学习，在此基础上可以更容易地理解表象变换。
参考文献：
[1]周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社，1979.
[2]朗道.量子力学（非相对论理论）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2008.
[3]曾谨言.《量子力学》卷I[M].第四版.北京：科学出版社，2007.
[4]陆培森.量子力学中的态叠加原理[J].四川师院学报，1982，（4）.
[5]祝玉华，石凤良，姚久民.对量子力学中表象及其变换的理解[J].唐山师范学院学报，2009，31（2）.
基金项目：上海理工大学量子力学核心课程建设
作者简介：郭文军（1976-），男，山西临汾人，副教授，博士，理论物理方向。
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