在高中概率论中，独立事件、对立事件、互斥事件是一些最基本的事件，很好地掌握它们能够为我们进一步学习概率相关知识做很好的铺垫.为避免在以后的学习中产生混淆，下文就对相互独立事件、互斥事件、对立事件关系进行详细概述.
一、随机事件的相互独立
1.两个事件的相互独立:对任意的两个事件A，B，若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与B相互独立.
2.n个事件的相互独立：一般地，对于事件A，A，…，A，若有
P（AA）=P（A）P（A）
P（AAA）=P（A）P（A）P（A）
P（AA…A）=P（A）P（A）…P（A）
其中1≤i＜j＜k＜…≤n，则称A，A，…，A相互独立.
3.两两独立但不相互独立.
例⒈设样本空间{ω，ω，ω，ω}含有等可能的四个基本事件，又A={ω，ω}，B={ω，ω}，C={ω，ω}，显然有P（A）=P（B）=P（C）=，并且P（AB）=P（A）×P（B），P（BC）=P（B）×P（C），P（CA）=P（A）×P（C）但ABC={1}，所以P（ABC）=≠P（A）×P（B）×P（C）.
二、互斥事件
1.两个事件的互斥：如果A与B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB=?准，则P（A∪B）=P（A）+P（B）.
2.n个事件互斥：事件A，A，…，A互不相容是指它们中任意两个事件都互斥，即：AA=?准，i≠j，i、j=1，2，…，n，
则P（A+A+…+A）=P（A）+P（A）+…+P（A）.
三、对立事件
1.两个事件的对立：设A是一个事件，令=Ω-A，称是A的对立事件.
2.对立不适用于多个事件.
四、互斥事件与对立事件的区别
1.互斥的概念适用于两个或多个事件，对立的概念适用于两个事件.
2.从集合角度看，事件A，B互斥，就是它们相应集合的交集是空集，A不包含B，B也不包含A，空集与任何集合都不互斥；几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合是彼此交集是空集，事件A，B对立，就是事件A包含的结果的集合是其对立B包含的结果的补集．
3.两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.
4.两事件对立是两事件互斥的充分必要条件，两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立.
例：掷一颗骰子，其样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，若令A为出现1点之事件：A={1}，B为出现5点之事件:B={5}，这两个事件A与B是互斥事件，但却不是对立的，因为{1}+{2}≠Ω，相应事件C={2，3，4，5，6}是事件A的对立事件，A+C={1}+{2，3，4，5，6}=Ω，AC=?准.
五、相互独立事件与互斥事件的区别
1.互斥是在同一事件下，相互独立是在不同事件下.
2.单纯在概率的基础上，只要P（AB）=P（A）P（B），就是独立.互斥指两个事件不可能同时发生，即：AB=?准，则P（A∪B）=P（A）+P（B）.
3.在使用加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）时，若A，B互斥，P（A∪B）=P（A）+P（B）；若A，B相互独立，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）.
4.一般情况下，相互独立与互斥不能同时存在，若A，B中有一个概率为零，则A与B相互独立和互斥可同时存在.
5.互斥未必相互独立.
例：52张扑克牌平均分给甲、乙、丙、丁四个人，A表示甲得3张K，B表示乙得2张K；则A与B互斥但不相互独立.
解：当P（A）＞0，P（B）＞0时，若A，B互斥，则A∩B=?准，从而P（AB）=0，但P（A）P（B）＞0，因而等式P（AB）=P（A）P（B）不成立，即互斥未必相互独立.
6.相互独立未必互斥.
例：盒子里装有m只白球，k只黑球，做有放回的摸球试验，A表示“第一次摸到黑球”，B表示“第二次摸到白球”；则A和B是相互独立但不是互斥的.
解：若A，B独立，则P（AB）=P（A）P（B）＞0，从而A，B不互斥（否则，P（AB）=0，导致矛盾）.
7.两事件A，B相互独立是指事件A出现的概率与事件B是否出现没有关系，并不是说A，B间没有关系.相反若A，B独立，则常有AB≠?准，即A与B不互斥.A，B互斥是指A的出现必导致B的不出现，并没有说出现A的概率与B是否出现有关系.
例:甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
有同学这样解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，
P（A+B）=P（A）+P（B）=C0.8×0.2+C0.7×0.3=0.825.
错误的原因：把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.
正确的解答：本题为“相互独立事件同时发生的概率”，设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是
P（AB）=P（A）P（B）=C0.8×0.2×C0.7×0.3≈0.169.
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为AB.用概率的乘法公式P（AB）=P（A）P（B）计算.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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